Teorema de estabilidad de Reeb

En matemáticas , el teorema de estabilidad de Reeb , que lleva el nombre de Georges Reeb , afirma que si una hoja de una foliación de codimensión uno es cerrada y tiene un grupo fundamental finito , entonces todas las hojas son cerradas y tienen un grupo fundamental finito.

Teorema: ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle F}$ser un${\displaystyle C^{1}}$, codimensión${\displaystyle k}$foliación de una variedad${\displaystyle M}$y${\displaystyle L}$una hoja compacta con grupo de holonomía finito . Existe un vecindario.${\displaystyle U}$de${\displaystyle L}$, saturado en${\displaystyle F}$(también llamado invariante), en el que todas las hojas son compactas con grupos de holonomía finitos. Además, podemos definir una retracción.${\displaystyle \pi :U\to L}$de tal manera que, por cada hoja${\displaystyle L'\subset U}$,${\displaystyle \pi |_{L'}:L'\a L}$es un mapa de cobertura con un número finito de hojas y, para cada${\displaystyle y\in L}$,${\displaystyle \pi ^{-1}(y)}$es homeomorfo a un disco de dimensión k y es transversal a${\displaystyle F}$El barrio${\displaystyle U}$puede considerarse arbitrariamente pequeño.

La última afirmación significa, en particular, que, en un entorno del punto correspondiente a una hoja compacta con holonomía finita, el espacio de hojas es Hausdorff . Bajo ciertas condiciones, el teorema de estabilidad local de Reeb puede reemplazar el teorema de Poincaré-Bendixson en dimensiones superiores. ^{[ 2 ]} Este es el caso de foliaciones singulares de codimensión uno.${\displaystyle (M^{n},F)}$, con${\displaystyle n\geq 3}$y alguna singularidad de tipo central en${\displaystyle Cantar(F)}$.

El teorema de estabilidad local de Reeb también tiene una versión para una hoja no compacta de codimensión 1. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Un problema importante en la teoría de la foliación es el estudio de la influencia que ejerce una hoja compacta sobre la estructura global de una foliación . Para ciertas clases de foliaciones, esta influencia es considerable.

Teorema: ^{[ 1 ]} Sea${\displaystyle F}$ser un${\displaystyle C^{1}}$, foliación de codimensión uno de una variedad cerrada${\displaystyle M}$. Si${\displaystyle F}$contiene una hoja compacta${\displaystyle L}$con grupo fundamental finito , entonces todas las hojas de${\displaystyle F}$son compactos, con grupo fundamental finito. Si${\displaystyle F}$es orientable transversalmente , entonces cada hoja de${\displaystyle F}$es difeomorfo a${\displaystyle L}$;${\displaystyle M}$es el espacio total de una fibración${\displaystyle f:M\to S^{1}}$encima${\displaystyle S^{1}}$, con fibra${\displaystyle L}$, y${\displaystyle F}$es la foliación de la fibra,${\displaystyle \{f^{-1}(\theta )|\theta \in S^{1}\}}$.

Este teorema sigue siendo cierto incluso cuando${\displaystyle F}$es una foliación de una variedad con frontera , que es, a priori, tangente en ciertas componentes de la frontera y transversal en otras componentes. ^{[ 5 ]} En este caso implica el teorema de la esfera de Reeb .

El teorema de estabilidad global de Reeb es falso para foliaciones de codimensión mayor que uno. ^{[ 6 ]} Sin embargo, para algunos tipos especiales de foliaciones se tienen los siguientes resultados de estabilidad global:

• En presencia de una determinada estructura geométrica transversal:

Teorema: ^{[ 7 ]} Sea${\displaystyle F}$ser una foliación conforme completa de codimensión${\displaystyle k\geq 3}$de un colector conectado${\displaystyle M}$. Si${\displaystyle F}$tiene una hoja compacta con grupo de holonomía finito , entonces todas las hojas de${\displaystyle F}$son compactos con grupo de holonomía finito.

• Para foliaciones holomorfas en variedades de Kähler complejas :

Teorema: ^{[ 8 ]} Sea${\displaystyle F}$ser una foliación holomorfa de codimensión${\displaystyle k}$en una variedad de Kähler compleja y compacta . Si${\displaystyle F}$tiene una hoja compacta con grupo de holonomía finito entonces cada hoja de${\displaystyle F}$es compacto con grupo de holonomía finito.

• C. Camacho, A. Lins Neto: Teoría geométrica de las foliaciones, Boston, Birkhauser, 1985
• I. Tamura, Topología de las foliaciones: una introducción, Trad. de Monografías Matemáticas, AMS, vol. 97, 2006, 193 págs.