elipsoide terrestre

Un elipsoide o esferoide terrestre es una figura matemática que aproxima la forma y el tamaño de la Tierra , utilizada como parte de un sistema de referencia para coordenadas y cálculos en geodesia , astronomía y geociencias . Se han utilizado diversos elipsoides de referencia como aproximaciones.

Se trata de un esferoide achatado (un elipsoide de revolución ) cuyo eje menor (diámetro polar), que conecta los polos geográficos , está aproximadamente alineado con el eje de rotación de la Tierra . El elipsoide también está definido por el eje mayor ( eje ecuatorial ); la diferencia entre ambos ejes es ligeramente superior a 21  km, o el 0,335 %.

Existen numerosos métodos para determinar los ejes de un elipsoide terrestre, desde arcos meridianos hasta la geodesia satelital moderna o el análisis e interconexión de redes geodésicas continentales . Entre los diferentes conjuntos de datos utilizados en los levantamientos topográficos nacionales, destacan varios de especial importancia: el elipsoide de Bessel de 1841, el elipsoide internacional de Hayford de 1924 y (para el posicionamiento GPS ) el elipsoide WGS84 .

Existen dos tipos de elipsoide: medio y de referencia.

Un conjunto de datos que describe el promedio global de la curvatura de la superficie terrestre se denomina elipsoide terrestre medio . Este término se refiere a una coherencia teórica entre la latitud geográfica y la curvatura meridional del geoide . Esta última se encuentra cerca del nivel medio del mar , por lo que un elipsoide terrestre ideal tendría el mismo volumen que el geoide.

Si bien el elipsoide terrestre medio es la base ideal de la geodesia global, para las redes regionales un elipsoide de referencia puede ser una mejor opción. ^{[ 1 ]} Cuando se deben calcular mediciones geodésicas sobre una superficie de referencia matemática, esta superficie debe tener una curvatura similar a la del geoide regional; de lo contrario, la reducción de las mediciones producirá pequeñas distorsiones.

Esta es la razón de la larga vida útil de elipsoides de referencia antiguos, como el de Hayford o el de Bessel , a pesar de que sus ejes principales se desvían varios cientos de metros de los valores actuales. Otra razón es de índole jurídica: las coordenadas de millones de mojones deben permanecer fijas durante un largo período. Si su superficie de referencia cambia, las coordenadas también cambian.

Sin embargo, para las redes internacionales, el posicionamiento GPS o la astronáutica , estas razones regionales son menos relevantes. A medida que el conocimiento de la figura de la Tierra se vuelve más preciso, la Unión Geocientífica Internacional (UGI) suele adaptar los ejes del elipsoide terrestre a los mejores datos disponibles.

elipsoide de referencia

En geodesia , un elipsoide de referencia es una superficie definida matemáticamente que se aproxima al geoide , que es la figura más real, aunque imperfecta , de la Tierra u otro cuerpo planetario, a diferencia de una esfera perfecta, lisa e inalterada, que tiene en cuenta las ondulaciones de la gravedad de los cuerpos debido a las variaciones en la composición y densidad de su interior , así como el achatamiento posterior causado por la fuerza centrífuga derivada de la rotación de estos objetos masivos (en el caso de cuerpos planetarios que rotan). Debido a su relativa simplicidad, los elipsoides de referencia se utilizan como superficie preferida para realizar cálculos de redes geodésicas y definir coordenadas puntuales como latitud , longitud y elevación .

En el contexto de la estandarización y las aplicaciones geográficas, un elipsoide de referencia geodésica es el modelo matemático que sirve de base para las definiciones de sistemas de referencia espacial o datos geodésicos .

En geofísica, geodesia y áreas afines, el término «elipsoide» se entiende como «elipsoide de revolución achatado», y el término más antiguo «esferoide achatado» apenas se utiliza. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Para cuerpos que no pueden aproximarse bien mediante un elipsoide de revolución, se utiliza un elipsoide triaxial (o escaleno).

La forma de un elipsoide de revolución está determinada por sus parámetros geométricos . El semieje mayor , a , se convierte en el radio ecuatorial del elipsoide; el semieje menor , b , se convierte en la distancia desde el centro a cualquiera de los polos. Estas dos longitudes definen completamente la forma del elipsoide.

En las publicaciones de geodesia, sin embargo, es común especificar el semieje mayor (radio ecuatorial) a y el achatamiento f , definidos como:

${\displaystyle f={\frac {ab}{a}}.}$

Es decir, f es la cantidad de achatamiento en cada polo, en relación con el radio en el ecuador. Esto se suele expresar como una fracción 1/ m ; m = 1/ f , siendo entonces el "achatamiento inverso". En geodesia se utilizan muchos otros parámetros de la elipse, pero todos ellos pueden relacionarse con uno o dos de los parámetros a , b y f .

En el pasado, se han utilizado numerosos elipsoides para modelar la Tierra, con diferentes valores supuestos de a y b , así como distintas posiciones del centro y orientaciones de los ejes con respecto a la Tierra sólida. A partir de finales del siglo XX, las mediciones mejoradas de las órbitas de los satélites y las posiciones de las estrellas han proporcionado determinaciones extremadamente precisas del centro de masa de la Tierra y de su eje de revolución; y estos parámetros se han adoptado también para todos los elipsoides de referencia modernos.

El elipsoide WGS-84 , ampliamente utilizado para cartografía y navegación por satélite, tiene f cerca de 1/300 (más precisamente, 1/298,257223563, por definición), lo que corresponde a una diferencia de los semiejes mayor y menor de aproximadamente 21 km (13 millas) (más precisamente, 21,3846857548205 km). En comparación, la Luna de la Tierra es aún menos elíptica, con un achatamiento de menos de 1/825, mientras que Júpiter es visiblemente oblado en aproximadamente 1/15 y una de las lunas triaxiales de Saturno , Telesto , está muy achatada, con f entre 1/3 y 1/2 (lo que significa que el diámetro polar está entre el 50% y el 67% del ecuatorial. 

La medición por arco es el método histórico para determinar el elipsoide. Dos mediciones de arco meridiano permiten derivar dos parámetros necesarios para especificar un elipsoide de referencia. Por ejemplo, si hipotéticamente las mediciones se realizaran exactamente sobre el plano ecuatorial y cualquiera de los polos geográficos, los radios de curvatura obtenidos estarían relacionados con el radio ecuatorial y el radio polar, respectivamente a y b (véase: Radio de curvatura polar y ecuatorial de la Tierra ). Entonces, el achatamiento se deduciría fácilmente de su definición:

${\displaystyle f=(ab)/a}$.

Para dos mediciones de arco, cada una en latitudes promedio arbitrarias${\displaystyle \varphi _{i}}$,${\displaystyle i=1,\,2}$La solución parte de una aproximación inicial para el radio ecuatorial.${\displaystyle a_{0}}$y para el aplanamiento${\displaystyle f_{0}}$. El radio de curvatura meridional teórico de la Tierra${\ Displaystyle M_ {0} (\ varphi _ {i})}$se puede calcular en la latitud de cada medición de arco de la siguiente manera:

${\displaystyle M_{0}(\varphi _{i})={\frac {a(1-e^{2})}{(1-e_{0}^{2}\sin ^{2}\varphi _{i})^{\frac {3}{2}}}}}$

dónde${\displaystyle e_{0}^{2}=2f_{0}-f_{0}^{2}}$. ^{[ 4 ]} Entonces, las discrepancias entre los valores empíricos y teóricos del radio de curvatura pueden formarse como${\displaystyle \delta M_{i}=M_{i}-M_{0}(\varphi _{i})}$. Finalmente, correcciones para el radio ecuatorial inicial${\displaystyle \delta a}$y el aplanamiento${\displaystyle \delta f}$puede resolverse mediante un sistema de ecuaciones lineales formulado a través de la linealización de${\displaystyle M}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \delta M_{i}\approx \delta a(\partial M/\partial a)+\delta f(\partial M/\partial f)}$

donde las derivadas parciales son: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \partial M/\partial a\approx 1}$

${\displaystyle \partial M/\partial f\approx -2a_{0}(1-1.5\sin ^{2}\varphi _{i})}$

Los arcos más largos con múltiples determinaciones de latitud intermedia pueden determinar completamente el elipsoide que mejor se ajusta a la región estudiada. En la práctica, se utilizan múltiples mediciones de arco para determinar los parámetros del elipsoide mediante el método de ajuste de mínimos cuadrados . Los parámetros determinados suelen ser el semieje mayor,${\displaystyle a}$y cualquiera de los semiejes menores,${\displaystyle b}$, aplanamiento o excentricidad.

Los efectos sistemáticos a escala regional observados en las mediciones del radio de curvatura reflejan la ondulación del geoide y la desviación de la vertical , como se explora en la nivelación astrogeodésica .

La gravimetría es otra técnica para determinar el achatamiento de la Tierra, según el teorema de Clairaut .

La geodesia moderna ya no utiliza simples arcos meridianos ni redes de triangulación terrestre, sino los métodos de la geodesia satelital , especialmente la gravimetría satelital .

En 1687, Isaac Newton publicó los Principia, en los que incluyó una demostración de que un cuerpo fluido autogravitante en rotación y en equilibrio adopta la forma de un elipsoide de revolución aplanado ("oblato"), generado por una elipse que gira alrededor de su diámetro menor; una forma que denominó esferoide oblato . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

En 1669, Jean Picard halló el primer valor preciso y fiable para el radio de la Tierra, que resultó ser de 6365,6 kilómetros . ^{[ 10 ] [ 11 ]} Las observaciones geodésicas de Picard se habían limitado a la determinación de la magnitud de la Tierra considerada como una esfera, pero el descubrimiento realizado por Jean Richer centró la atención de los matemáticos en la desviación de la Tierra de una forma esférica. ^{[ 12 ] [ 13 ]} Christiaan Huygens descubrió la fuerza centrífuga , que explicaba las variaciones de la aceleración gravitatoria en función de la latitud . ^{[ 14 ]}

En 1743, Alexis Clairaut propuso un teorema que sugería que el estudio de las variaciones en la aceleración gravitatoria era una forma de determinar la figura de la Tierra , cuyo parámetro crucial era el achatamiento del elipsoide terrestre. ^{[ 14 ] [ 11 ]} Hacia finales del siglo XVIII, los geodestas intentaron conciliar los valores de achatamiento obtenidos a partir de las mediciones de arcos meridianos con el dado por el teorema de Clairaut a partir de la medición de la gravedad . ^{[ 11 ] [ 15 ]} La Comisión de Pesas y Medidas adoptaría, en 1799, un achatamiento de 1/334 basado en el análisis de Pierre-Simon Laplace ^, quien combinó el arco de Perú y los datos del arco meridiano de Delambre y Méchain . ^{[ 16 ] : 3 [ 16} ] ^{[ 17 ]}

elipsoides históricos de la Tierra

Los modelos elipsoidales de referencia que se enumeran a continuación han sido útiles en trabajos geodésicos y muchos siguen en uso. Los elipsoides más antiguos llevan el nombre de la persona que los desarrolló y se indica el año de su creación. En 1887, el topógrafo inglés Coronel Alexander Ross Clarke CB FRS RE recibió la Medalla de Oro de la Royal Society por su trabajo en la determinación de la figura de la Tierra. El elipsoide internacional fue desarrollado por John Fillmore Hayford en 1910 y adoptado por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG) en 1924, que recomendó su uso internacional.

En la reunión de la IUGG de 1967, celebrada en Lucerna, Suiza, se recomendó la adopción del elipsoide denominado GRS-67 ( Sistema de Referencia Geodésica de 1967). Si bien no se recomendó que este nuevo elipsoide sustituyera al Elipsoide Internacional (1924), sí se abogó por su uso en aplicaciones que requirieran mayor precisión. Finalmente, se integró en el GRS-67, que fue aprobado y adoptado en la reunión de la IUGG de 1971, celebrada en Moscú. Actualmente se utiliza en Australia para el Datum Geodésico Australiano y en el Datum Sudamericano de 1969.

El GRS-80 (Sistema de Referencia Geodésica de 1980), aprobado y adoptado por la IUGG en su reunión de Canberra, Australia, en 1979, se basa en el radio ecuatorial (semieje mayor del elipsoide terrestre).${\displaystyle a}$masa total${\displaystyle GM}$, factor de forma dinámico${\displaystyle J_{2}}$y velocidad angular de rotación${\displaystyle \omega }$, haciendo el aplanamiento inverso${\displaystyle 1/f}$una cantidad derivada. La mínima diferencia en${\displaystyle 1/f}$La diferencia observada entre GRS-80 y WGS-84 resulta de una truncación no intencionada en las constantes definitorias de este último: mientras que el WGS-84 fue diseñado para adherirse estrechamente al GRS-80, incidentalmente el aplanamiento derivado del WGS-84 resultó diferir ligeramente del aplanamiento del GRS-80 debido al coeficiente gravitacional armónico zonal de segundo grado normalizado, que se derivó del valor del GRS-80 para${\displaystyle J_{2}}$, se truncó a ocho dígitos significativos en el proceso de normalización. ^{[ 18 ]}

Un modelo elipsoidal describe únicamente la geometría del elipsoide y una fórmula de campo gravitatorio estándar asociada. Generalmente, un modelo elipsoidal forma parte de un datum geodésico más amplio . Por ejemplo, el antiguo ED-50 ( Datum Europeo 1950 ) se basa en el Elipsoide Hayford o Internacional . El WGS-84 es peculiar porque utiliza el mismo nombre tanto para el sistema de referencia geodésico completo como para su modelo elipsoidal. Sin embargo, ambos conceptos —modelo elipsoidal y sistema de referencia geodésico— siguen siendo distintos.

Tenga en cuenta que un mismo elipsoide puede tener diferentes nombres. Para una identificación inequívoca, conviene mencionar las constantes que lo definen.

• abultamiento ecuatorial
• radio de curvatura de la Tierra
• Datum geodésico
• Geoide
• Gran elipse
• Arco meridiano
• gravedad normal
• Sistema de coordenadas planetarias
• Historia de la geodesia
• elipsoide planetario

• sistema de coordenadas geográficas
• Sistemas de coordenadas y transformaciones ( página de ayuda de SPENVIS )
• Sistemas de coordenadas, marcos de referencia y referencias