Cierre reflejo

En matemáticas , el cierre reflexivo de una relación binaria${\displaystyle R}$en un plató${\displaystyle X}$es la relación reflexiva más pequeña en${\displaystyle X}$que contiene${\displaystyle R}$, es decir, el conjunto${\displaystyle R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle X}$es un conjunto de números distintos y${\displaystyle xRy}$medio "${\displaystyle x}$es menor que${\displaystyle y}$", luego el cierre reflexivo de${\displaystyle R}$es la relación "${\displaystyle x}$es menor o igual que${\displaystyle y}$".

El cierre reflexivo${\displaystyle S}$de una relación${\displaystyle R}$en un plató${\displaystyle X}$es dado por $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}}$$

En lenguaje sencillo, el cierre reflexivo de${\displaystyle R}$es la unión de${\displaystyle R}$con la relación de identidad en${\displaystyle X.}$

Por ejemplo, si $${\displaystyle X=\{1,2,3,4\}}$$$${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}}$$ entonces la relación${\displaystyle R}$ya es reflexivo en sí mismo, por lo que no difiere de su cierre reflexivo.

Sin embargo, si alguno de los pares reflexivos en${\displaystyle R}$Si estuviera ausente, se insertaría para el cierre reflexivo. Por ejemplo, si en el mismo conjunto${\displaystyle X}$$${\displaystyle R=\{(1,1),(1,3),(2,2),(4,4)\}}$$ entonces el cierre reflexivo es $${\displaystyle S=R\cup \{(x,x)\mid x\in X\}=\{(1,1),(1,3),(2,2),(3,3),(4,4)\}.}$$

• Cierre simétrico
• Cierre transitivo : la relación transitiva más pequeña que contiene una relación binaria dada. 

• Franz Baader y Tobias Nipkow , Term Rewriting and All That , Cambridge University Press, 1998, pág. 8