Proceso regenerativo

En probabilidad aplicada , un proceso regenerativo es una clase de proceso estocástico con la propiedad de que ciertas partes del proceso pueden tratarse como estadísticamente independientes entre sí. ^[2] Esta propiedad puede utilizarse en la derivación de propiedades teóricas de dichos procesos.

Los procesos regenerativos fueron definidos por primera vez por Walter L. Smith en Proceedings of the Royal Society A en 1955. ^{[3] [4]}

Un proceso regenerativo es un proceso estocástico con puntos temporales en los que, desde un punto de vista probabilístico, el proceso se reinicia. ^[5] Estos puntos temporales pueden estar determinados por la evolución del proceso. Es decir, el proceso { X ( t ),  t  ≥ 0} es un proceso regenerativo si existen puntos temporales 0 ≤  T ₀  <  T ₁  <  T ₂  < ... tales que el proceso post- T _k { X ( T _k  +  t ) :  t  ≥ 0}

• tiene la misma distribución que el proceso post- T _{0 {} X ( T ₀  +  t ) :  t  ≥ 0}
• es independiente del proceso pre- T _k { X ( t ) : 0 ≤  t  <  T _k }

para k  ≥ 1. ^[6] Intuitivamente, esto significa que un proceso regenerativo se puede dividir en ciclos iid . ^[7]

Cuando T ₀  = 0, X ( t ) se denomina proceso regenerativo no retardado . En caso contrario, el proceso se denomina proceso regenerativo retardado . ^[6]

• Los procesos de renovación son procesos regenerativos, siendo T ₁ la primera renovación. ^[5]
• Procesos de renovación alterna , donde un sistema alterna entre un estado "encendido" y un estado "apagado". ^[5]
• Una cadena de Markov recurrente es un proceso regenerativo, siendo T ₁ el momento de la primera recurrencia. ^[5] Esto incluye las cadenas de Harris .
• El movimiento browniano reflejado es un proceso regenerativo (donde se mide el tiempo que tardan las partículas en salir y regresar). ^[7]

• Por el teorema de recompensa por renovación , con probabilidad 1, ^[8]

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}}.}$

donde es la longitud del primer ciclo y es el valor durante el primer ciclo.${\estilo de visualización \tau}$${\displaystyle R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds}$

• Una función medible de un proceso regenerativo es un proceso regenerativo con el mismo tiempo de regeneración ^[8]