Polígono regular complejo

En geometría , un polígono complejo regular es una generalización de un polígono regular en el espacio real a una estructura análoga en un espacio complejo de Hilbert , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria . Un polígono regular existe en 2 dimensiones reales, , mientras que un polígono complejo existe en dos dimensiones complejas, , a las que se les pueden dar representaciones reales en 4 dimensiones, , que luego deben proyectarse a 2 o 3 dimensiones reales para ser visualizadas. Un polígono complejo se generaliza como un politopo complejo en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Un polígono complejo puede entenderse como una colección de puntos, líneas, planos, etc. complejos, donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, y así sucesivamente.

Los polígonos complejos regulares han sido completamente caracterizados y pueden describirse utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .

Un polígono regular complejo con todas sus aristas de 2 puede representarse mediante un grafo , mientras que las formas con k aristas solo pueden relacionarse mediante hipergrafos . Una k arista puede verse como un conjunto de vértices, sin orden implícito. Pueden dibujarse con aristas de 2 pares, pero esto no es estructuralmente preciso.

Mientras que los 1-politopos pueden tener p ilimitados , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de prisma doble _p {4} ₂ , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales), y los apeirógonos regulares infinitos también incluyen elementos de 6 aristas (aristas hexagonales).

Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p ₁ -aristas, con un p ₂ -conjunto como figura de vértice y un grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p ₁ ( g ) p ₂ .

El número de vértices V es entonces g / p ₂ y el número de aristas E es g / p ₁ .

El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( p ₁ = 4) y dieciséis vértices ( p ₂ = 2). De esto podemos deducir que g = 32, lo que da el símbolo de Schläfli modificado 4(32)2.

Una notación más moderna _{p 1} { q } _{p 2} se debe a Coxeter , ^[2] y se basa en la teoría de grupos. Como grupo de simetría, su símbolo es _{p 1} [ q ] _{p 2} .

El grupo de simetría _{p 1} [ q ] _{p 2} está representado por 2 generadores R ₁ , R ₂ , donde: R ₁ ^{p ₁} = R ₂ ^{p ₂} = I. Si q es par, (R ₂ R ₁ ) ^{q /2} = (R ₁ R ₂ ) ^{q /2} . Si q es impar, (R ₂ R ₁ ) ^{( q −1)/2} R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ^{( q −1)/2} R ₁ . Cuando q es impar, p ₁ = p ₂ .

Para ₄ [4] ₂ tiene R ₁ ⁴ = R ₂ ² = I, (R ₂ R ₁ ) ² = (R ₁ R ₂ ) ² .

Para ₃ [5] ₃ tiene R ₁ ³ = R ₂ ³ = I, (R ₂ R ₁ ) ² R ₂ = (R ₁ R ₂ ) ² R ₁ .

Coxeter también generalizó el uso de los diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos, por ejemplo, el polígono complejo _p { q } _r se representa mediantey el grupo de simetría equivalente, _p [ q ] _r , es un diagrama sin anilloLos nodos p y r representan espejos que producen imágenes p y r en el plano. Los nodos sin etiquetar en un diagrama tienen etiquetas 2 implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real es ₂ { q } ₂ o { q } o.

Una limitación: los nodos conectados por órdenes de ramificación impares deben tener órdenes de nodos idénticos. Si no es así, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos.yson ordinarios, mientrasEstá estrellado.

Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en . Un polígono complejo regular, _p { q } _r o${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, tiene p -aristas y r -figuras de vértices gonales . _p { q } _r es un politopo finito si ( p  +  r ) q  >  pr ( q  − 2).

Su simetría se escribe como _p [ q ] _r , llamado grupo de Shephard , análogo a un grupo de Coxeter , aunque también permite reflexiones unitarias .

Para los grupos no estelares, el orden del grupo _p [ q ] _r se puede calcular como . ^[4]${\displaystyle g=8/q\cdot(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}}$

El número de Coxeter para _p [ q ] _r es , por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Se puede dibujar un polígono complejo regular en proyección ortogonal con simetría h -gonal.${\displaystyle h=2/(1/p+2/q+1/r-1)}$${\displaystyle g=2h^{2}/q}$

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:

Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [ 5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ y ₃ [11] ₂ .

Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos:,,,,, y.

El polígono dual de _p { q } _r es _r { q } _p . Un polígono de la forma _p { q } _p es autodual. Los grupos de la forma _p [2 q ] ₂ tienen una semisimetría _p [ q ] _p , por lo que un polígono regulares lo mismo que cuasirregular. Además, polígono regular con el mismo orden de nodos,, tienen una construcción alternada, permitiendo que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. ^[5]

El orden de grupo, g , se utiliza para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá g / r vértices y g / p aristas. Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.

El grupo p [ q ] r ,, se puede representar mediante dos matrices: ^[6]

Con

${\displaystyle k={\sqrt {\frac {\cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+\cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}}$

Ejemplos

Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos complejos regulares. ^[7]

Los polígonos de la forma _p {2 r } _q se pueden visualizar mediante q conjuntos de colores de p -aristas. Cada p -arista se ve como un polígono regular, aunque no hay caras.

Polígonos complejos ₂ { r } _q

Los polígonos de la forma ₂ {4} _q se denominan ortoplexos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides 4D q - q , vértices conectados por 2 aristas.

• 
  ₂ {4} ₂ ,, con 4 vértices y 4 aristas
• 
  ₂ {4} ₃ ,, con 6 vértices y 9 aristas ^[8]
• 
  ₂ {4} ₄ ,, con 8 vértices y 16 aristas
• 
  ₂ {4} ₅ ,, con 10 vértices y 25 aristas
• 
  ₂ {4} ₆ ,, con 12 vértices y 36 aristas
• 
  ₂ {4} ₇ ,, con 14 vértices y 49 aristas
• 
  ₂ {4} ₈ ,, con 16 vértices y 64 aristas
• 
  ₂ {4} ₉ ,, con 18 vértices y 81 aristas
• 
  ₂ {4} ₁₀ ,, con 20 vértices y 100 aristas

Polígonos complejos _p {4} ₂

Los polígonos de la forma _p {4} ₂ se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas 4D p - p , vértices conectados por aristas p. Los vértices se dibujan en verde y las aristas p se dibujan en colores alternos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para las dimensiones impares para mover los vértices superpuestos desde el centro.

• 
  ₂ {4} ₂ ,o, con 4 vértices y 4 aristas de 2
• 
  ₃ {4} ₂ ,o, con 9 vértices y 6 aristas triangulares ^[9]
• 
  ₄ {4} ₂ ,o, con 16 vértices y 8 aristas cuadradas de 4 lados
• 
  ₅ {4} ₂ ,o, con 25 vértices y 10 aristas de 5 lados (pentagonales)
• 
  ₆ {4} ₂ ,o, con 36 vértices y 12 aristas (hexagonales) de 6
• 
  ₇ {4} ₂ ,o, con 49 vértices y 14 aristas (heptagonales) de 7 lados
• 
  ₈ {4} ₂ ,o, con 64 vértices y 16 aristas de 8 caras (octagonales)
• 
  ₉ {4} ₂ ,o, con 81 vértices y 18 aristas de 9 lados (aneogonales)
• 
  ₁₀ {4} ₂ ,o, con 100 vértices y 20 aristas de 10 (decagonales)

Polígonos complejos _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ ,o, con 24 vértices en negro y 16 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[10]
• 
  ₃ {8} ₂ ,o, con 72 vértices en negro y 48 aristas de 3 lados coloreadas en 2 conjuntos de aristas de 3 lados en rojo y azul ^[11]

Polígonos complejos, _p { r } _p

Los polígonos de la forma _p { r } _p tienen el mismo número de vértices y aristas. También son autoduales.

• 
  ₃ {3} ₃ ,o, con 8 vértices en negro y 8 aristas de 3 colores en 2 conjuntos de aristas de 3 colores en rojo y azul ^[12]
• 
  ₃ {4} ₃ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 3 lados que se muestran en 3 conjuntos de colores, un conjunto lleno ^[13]
• 
  ₄ {3} ₄ ,o, con 24 vértices y 24 aristas de 4 lados que se muestran en 4 conjuntos de colores ^[14]
• 
  ₃ {5} ₃ ,o, con 120 vértices y 120 3 aristas ^[15]
• 
  ₅ {3} ₅ ,o, con 120 vértices y 120 aristas de 5 puntos ^[16]

Las proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos _p {4} ₂ pueden mostrar la estructura punto-borde de un polígono complejo, mientras que la escala no se conserva.

Los duales ₂ {4} _p : se ven agregando vértices dentro de las aristas y agregando aristas en lugar de vértices.

• 
  ₂ {4} ₃ ,con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
• 
  ₃ {4} ₂ ,con 9 vértices, 6 aristas de 3 lados en 2 conjuntos de colores como
• 
  ₄ {4} ₂ ,con 16 vértices, 8 de 4 aristas en 2 conjuntos de colores y un cuadrado relleno de 4 aristas como
• 
  ₅ {4} ₂ ,con 25 vértices, 10 de 5 aristas en 2 conjuntos de colores como

Un polígono cuasirregular es un truncamiento de un polígono regular. Un polígono cuasirregularcontiene bordes alternos de los polígonos regularesyEl polígono cuasirregular tiene p vértices en los p-aristas de la forma regular.

• Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), esp pp 67–80.
• Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
• Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239–244,
• Shephard, GC; Politopos complejos regulares , Proc. London Math. Soc. Serie 3, vol. 2, (1952), págs. 82–97.
• Shephard, GC ; Todd, JA (1954), "Grupos de reflexión unitaria finitos", Revista canadiense de matemáticas , 6 : 274–304, doi :10.4153/cjm-1954-028-3, MR  0059914
• Gustav I. Lehrer y Donald E. Taylor, Unitary Reflection Groups , Cambridge University Press, 2009