Anillo G

En álgebra conmutativa , un anillo G o anillo de Grothendieck es un anillo noetheriano tal que la aplicación de cualquiera de sus anillos locales a la completación es regular (definida más adelante). Casi todos los anillos noetherianos que aparecen de forma natural en geometría algebraica o teoría de números son anillos G, y es bastante difícil construir ejemplos de anillos noetherianos que no lo sean. El concepto recibe su nombre de Alexander Grothendieck .

Un anillo que es a la vez un anillo G y un anillo J-2 se llama anillo cuasi-excelente , y si además es universalmente catenario se llama anillo excelente .

• Un anillo (noetheriano) R que contiene un cuerpo k se llama geométricamente regular sobre k si para cualquier extensión finita K de k el anillo R  ⊗ _k K es un anillo regular . 
• Un homomorfismo de anillos de R a S se denomina regular si es plano y para cada p  ∈  Spec( R ) la fibra S  ⊗ _R k ( p ) es geométricamente regular sobre el cuerpo residual k ( p ) de p . (Véase también el teorema de Popescu ). 
• Un anillo se denomina anillo G local si es un anillo local noetheriano y la aplicación a su completación (con respecto a su ideal máximo ) es regular.
• Un anillo se denomina G-anillo si es noetheriano y todas sus localizaciones en ideales primos son G-anillos locales. (Basta con comprobarlo para los ideales maximales, por lo que, en particular, los G-anillos locales son G-anillos).

• Cada campo es un anillo G.
• Cada anillo local noetheriano completo es un anillo G.
• Todo anillo de series de potencias convergentes en un número finito de variables sobre R o C es un anillo G.
• Todo dominio de Dedekind en característica 0, y en particular el anillo de los enteros , es un G-anillo, pero en característica positiva hay dominios de Dedekind (e incluso anillos de valuación discreta ) que no son G-anillos.
• Cada localización de un anillo G es un anillo G.
• Toda álgebra finitamente generada sobre un G-anillo es un G-anillo. Este es un teorema de Grothendieck.

Aquí hay un ejemplo de un anillo de valuación discreta A de característica p >0 que no es un G-anillo. Si k es cualquier cuerpo de característica p con [ k  : k ^p ] = ∞ y R = k [[ x ]] y A es el subanillo de la serie de potencias Σ a _i x ⁱ tal que [ k ^p ( a ₀ , a ₁ ,...)  : k ^p ] es finito entonces la fibra formal de A sobre el punto genérico no es geométricamente regular por lo que A no es un G-anillo. Aquí k ^p denota la imagen de k bajo el morfismo de Frobenius a → a ^p .

• A. Grothendieck, J. Dieudonné , Eléments de géométrie algébrique IV Publ. Matemáticas. IHÉS 24 (1965), artículo 7
• H. Matsumura , Álgebra conmutativa ISBN 0-8053-7026-9, capítulo 13.