Mapa regular (teoría de grafos)

El mapa regular {6,3} _{4 , 0} en el toro con 16 caras, 32 vértices y 48 aristas.

En matemáticas , un mapa regular es una teselación simétrica de una superficie cerrada . Más precisamente, un mapa regular es una descomposición de una variedad bidimensional (como una esfera , un toro o un plano proyectivo real ) en discos topológicos, de modo que cada bandera (una tripleta vértice-arista-cara incidente) puede transformarse en cualquier otra bandera mediante una simetría de la descomposición. Los mapas regulares son, en cierto sentido, generalizaciones topológicas de los sólidos platónicos . La teoría de mapas y su clasificación está relacionada con la teoría de superficies de Riemann , la geometría hiperbólica y la teoría de Galois . Los mapas regulares se clasifican según: el género y la orientabilidad de la superficie de soporte, el grafo subyacente o el grupo de automorfismos .

Descripción general

Los mapas regulares se definen y estudian típicamente de tres maneras: topológicamente, desde la teoría de grupos y desde la teoría de grafos.

Enfoque topológico

Topológicamente, un mapa es una descomposición en 2 celdas de una 2-variedad compacta conexa. ^{[ 1 ]}

El género g de un mapa M viene dado por la relación de Euler. $\chi (M)=|V|-|E|+|F|$ lo cual es igual a $2-2g$ si el mapa es orientable y $2-g$ si el mapa no es orientable. Es un hecho crucial que existe un número finito (distinto de cero) de mapas regulares para cada género orientable excepto el toro.

Enfoque basado en la teoría de grupos

Desde el punto de vista de la teoría de grupos, la representación de permutación de una aplicación regular M es un grupo de permutaciones transitivo C , sobre un conjunto $\Omega$ de banderas , generadas por tres involuciones libres de punto fijo r ₀ , r ₁ , r ₂ que satisfacen (r ₀ r ₂ ) ² = I. En esta definición, las caras son las órbitas de F = < r ₀ , r ₁ >, las aristas son las órbitas de E = < r ₀ , r ₂ >, y los vértices son las órbitas de V = < r ₁ , r ₂ >. De forma más abstracta, el grupo de automorfismos de cualquier mapa regular es la imagen homomórfica no degenerada de un grupo triangular <2,m,n> .

Enfoque basado en la teoría de grafos

Desde el punto de vista de la teoría de grafos, un mapa es un grafo cúbico. $\Gamma$ con bordes de color azul, amarillo y rojo de tal manera que: $\Gamma$ está conectado, cada vértice es incidente a una arista de cada color, y los ciclos de aristas que no son de color amarillo tienen una longitud de 4. Tenga en cuenta que $\Gamma$ es el grafo de banderas o mapa codificado en grafos (GEM) del mapa, definido en el conjunto de vértices de banderas $\Omega$ y no es el esqueleto G = (V,E) del mapa. En general, | $\Omega$ | = 4|E|.

Una aplicación M es regular si Aut(M) actúa regularmente sobre las banderas. Aut( M ) de una aplicación regular es transitiva sobre los vértices, aristas y caras de M. Se dice que una aplicación M es reflexiva si y solo si Aut( M ) es regular y contiene un automorfismo. $\phi$ que fija tanto un vértice v como una cara f , pero invierte el orden de las aristas. Se dice que una aplicación que es regular pero no reflexiva es quiral .

Ejemplos

El gran dodecaedro es un mapa regular con caras pentagonales en la superficie orientable de género 4.
El hemicubo es una aplicación regular de tipo {4,3} en el plano proyectivo .
El hemidodecaedro es una aplicación regular producida por la incrustación pentagonal del grafo de Petersen en el plano proyectivo.
El p- hosoedro es una aplicación regular de tipo {2,p}.
El mapa de Dyck es un mapa regular de 12 octágonos sobre una superficie de género 3. Su grafo subyacente, el grafo de Dyck , también puede formar un mapa regular de 16 hexágonos en un toro.

A continuación se presenta una lista completa de mapas regulares en superficies de característica de Euler positiva , χ : la esfera y el plano proyectivo. ^{[ 2 ]}

Las imágenes que aparecen a continuación muestran tres de los 20 mapas regulares del toro triple , etiquetados con sus tipos de Schläfli.

${6,4$ }
${4,8$ }
${8,4$ }

poliedros toroidales

Los mapas regulares existen como poliedros toroédricos como porciones finitas de teselaciones euclidianas, envueltos en la superficie de un duocilindro como un toro plano . Estos se etiquetan como {4,4} _{b , c} para aquellos relacionados con la teselación cuadrada , {4,4}. ^{[ 4 ]} {3,6} _{b , c} están relacionados con la teselación triangular , {3,6}, y {6,3} _{b , c} están relacionados con la teselación hexagonal , {6,3}. b y c son números enteros . ^{[ 5 ]} Hay 2 casos especiales ( b ,0) y ( b , b ) con simetría reflectiva, mientras que los casos generales existen en pares quirales ( b , c ) y ( c , b ).

Los mapas regulares de la forma {4,4} _{m ,0} se pueden representar como el poliedro sesgado regular finito {4,4 | m }, visto como las caras cuadradas de un duoprismo m × m en 4 dimensiones.

Aquí tenemos un ejemplo: {4,4} _8,0 se proyecta desde un plano como un tablero de ajedrez a una sección cilíndrica y luego a un toroide. La proyección de un cilindro a un toroide distorsiona la geometría en 3 dimensiones, pero puede realizarse sin distorsión en 4 dimensiones.

En los poliedros toroidales generalmente regulares { p , q } _, se pueden definir _{b y c} si p o q son pares, aunque solo los euclidianos mencionados anteriormente pueden existir como poliedros toroidales en 4 dimensiones. En {2p , q } , los caminos ( b , c ) se pueden definir como un recorrido de cara-arista-cara en líneas rectas, mientras que las formas duales { p , 2q } verán los caminos ( b , c ) como un recorrido de vértice-arista-vértice en líneas rectas.

mapas regulares hiperbólicos

Branko Grünbaum identificó un cubo doblemente cubierto {8/2,3}, con 6 caras octogonales, doblemente envuelto, que requiere 24 aristas y 16 vértices. Puede verse como una aplicación regular {8,3} _2,0 en un plano hiperbólico con 6 octágonos coloreados. ^{[ 7 ]}

Véase también

Referencias

↑ Nedela (2007)
↑ Coxeter y Moser (1980)
1 2 Séquin (2013)
↑ Coxeter 1980, 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro.
↑ Coxeter 1980, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro.
↑ Coxeter y Moser, Generadores y relaciones para grupos discretos , 1957, Capítulo 8, Mapas regulares , 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro
↑ "¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros?" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 26/11/2018.

Bibliografía

Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980), Generadores y relaciones para grupos discretos , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 14 (4ª ed.), Springer Verlag, ISBN 978-0-387-09212-6.
van Wijk, Jarke J. (2009), "Teselado simétrico de superficies cerradas: Visualización de mapas regulares" (PDF) , Proc. SIGGRAPH, ACM Transactions on Graphics , 28 (3) 49: 1– 12, doi : 10.1145/1531326.1531355 , archivado del original (PDF) el 9 de junio de 2011.
Conder, Marston ; Dobcsányi, Peter (2001), "Determinación de todos los mapas regulares de género pequeño", Journal of Combinatorial Theory, Serie B , 81 (2): 224–242 , doi : 10.1006/jctb.2000.2008.
Nedela, Roman (2007), Mapas, hipermapas y temas relacionados (PDF) , archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016 , consultado el 31 de agosto de 2009..
Vince, Andrew (2004), "Mapas", Manual de teoría de grafos.
Brehm, Ulrich; Schulte, Egon (2004), "Mapas poliédricos", Manual de geometría discreta y computacional.
Séquin, Carlo (2013), "Inmersiones simétricas de mapas regulares no orientables de bajo género" (PDF) , Universidad de California, Berkeley.

[1] Nedela (2007)

[2] Coxeter y Moser (1980)

[csequin-3] 1 2 Séquin (2013)

[4] Coxeter 1980, 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro.

[5] Coxeter 1980, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro.

[6] Coxeter y Moser, Generadores y relaciones para grupos discretos , 1957, Capítulo 8, Mapas regulares , 8.3 Mapas de tipo {4,4} en un toro, 8.4 Mapas de tipo {3,6} o {6,3} en un toro

[7] "¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros?" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 26/11/2018.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 7 ]