Monomorfismo

En el contexto del álgebra abstracta o álgebra universal , un monomorfismo es un homomorfismo inyectivo . Un monomorfismo de X a Y se suele denotar con la notación ${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$.

En el contexto más general de _la teoría de categorías , un monomorfismo (también llamado morfismo mónico o mono ) es un morfismo cancelativo por la izquierda . Es decir, una flecha f : X → Y tal que para todos los objetos Z y todos los _morfismos g1 , g2 : Z → X , 

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\implies g_{1}=g_{2}.}$

Los monomorfismos son una generalización categórica de las funciones inyectivas (también llamadas "funciones uno a uno"); en algunas categorías las nociones coinciden, pero los monomorfismos son más generales, como en los ejemplos que se muestran a continuación .

En el contexto de los conjuntos parcialmente ordenados, las intersecciones son idempotentes : la intersección de cualquier cosa consigo misma es ella misma. Los monomorfismos generalizan esta propiedad a categorías arbitrarias. Un morfismo es un monomorfismo si es idempotente con respecto a las imágenes inversas .

El dual categórico de un monomorfismo es un epimorfismo ; es decir, un monomorfismo en una categoría C es un epimorfismo en la categoría dual C ^op . Toda sección es un monomorfismo, y toda retracción es un epimorfismo.

Los morfismos invertibles por la izquierda son necesariamente mónicos: si l es un inverso por la izquierda para f (lo que significa que l es un morfismo y${\displaystyle l\circ f=\operatorname {id} _{X}}$), entonces f es mónico, como

${\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow l\circ f\circ g_{1}=l\circ f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}.}$

Un morfismo invertible por la izquierda se denomina sección o monomorfismo escindido.

Sin embargo, un monomorfismo no tiene por qué ser invertible por la izquierda. Por ejemplo, en la categoría Grupo de todos los grupos y homomorfismos de grupos entre ellos, si H es un subgrupo de G , entonces la inclusión f  : H → G es siempre un monomorfismo; pero f tiene un inverso por la izquierda en la categoría si y solo si H tiene un complemento normal en G.

Un morfismo f  : X → Y es mónico si y solo si el mapa inducido f _∗  : Hom( Z , X ) → Hom( Z , Y ) , definido por f _∗ ( h ) = f ∘ h para todos los morfismos h  : Z → X , es inyectivo para todos los objetos Z .

Todo morfismo en una categoría concreta cuya función subyacente es inyectiva es un monomorfismo; en otras palabras, si los morfismos son en realidad funciones entre conjuntos, entonces cualquier morfismo que sea una función biyectiva será necesariamente un monomorfismo en el sentido categórico. En la categoría de conjuntos , también se cumple lo contrario, por lo que los monomorfismos son precisamente los morfismos inyectivos . Lo contrario también se cumple en la mayoría de las categorías de álgebras que aparecen naturalmente debido a la existencia de un objeto libre en uno de los generadores. En particular, es cierto en las categorías de todos los grupos, de todos los anillos y en cualquier categoría abeliana .

En general, no es cierto que todos los monomorfismos deban ser inyectivos en otras categorías; es decir, existen contextos en los que los morfismos son funciones entre conjuntos, pero puede haber una función que no sea inyectiva y, sin embargo, sea un monomorfismo en el sentido categórico. Por ejemplo, en la categoría Div de grupos divisibles (abelianos) y homomorfismos de grupos entre ellos, existen monomorfismos que no son inyectivos: considérese, por ejemplo, la aplicación cociente q : Q → Q / Z , donde Q son los racionales bajo la suma, Z los enteros (también considerados un grupo bajo la suma) y Q / Z es el grupo cociente correspondiente . Esta no es una aplicación inyectiva, ya que, por ejemplo, todo entero se asigna a 0. Sin embargo, es un monomorfismo en esta categoría. Esto se deduce de la implicación q ∘ h = 0 ⇒ h = 0 , que demostraremos a continuación. Si h : G → Q , donde G es algún grupo divisible, y q ∘ h = 0 , entonces h ( x ) ∈ Z , ∀ x ∈ G . Ahora fijemos algún x ∈ G . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que h ( x ) ≥ 0 (de lo contrario, elijamos − x en su lugar). Entonces, haciendo n = h ( x ) + 1 , como G es un grupo divisible, existe algún y ∈ G tal que x = ny , por lo que h ( x ) = n h ( y ) . De esto, y 0 ≤ h ( x ) < h ( x ) + 1 = n , se deduce que  

${\displaystyle 0\leq {\frac {h(x)}{h(x)+1}}=h(y)<1}$

Dado que h ( y ) ∈ Z , se deduce que h ( y ) = 0 , y por lo tanto h ( x ) = 0 = h (− x ), ∀ x ∈ G . Esto dice que h = 0 , como se deseaba.

Para pasar de esa implicación al hecho de que q es un monomorfismo, supongamos que q ∘ f = q ∘ g para algunos morfismos f , g  : G → Q , donde G es algún grupo divisible. Entonces q ∘ ( f − g ) = 0 , donde ( f − g )  : x ↦ f ( x ) − g ( x ) . (Como ( f − g )(0) = 0 , y ( f − g )( x + y ) = ( f − g )( x ) + ( f − g )( y ) , se deduce que ( f − g ) ∈ Hom( G , Q ) ). De la implicación que acabamos de demostrar, q ∘ ( f − g ) = 0 ⇒ f − g = 0 ⇔ ∀ x ∈ G , f ( x ) = g ( x ) ⇔ f = g . Por lo tanto, q es un monomorfismo, como se afirma.

• En un topos elemental , cada mono es un ecualizador, y cualquier mapa que sea a la vez mónico y épico es un isomorfismo .
• Todo isomorfismo es mónico.

También existen conceptos útiles como el monomorfismo regular , el monomorfismo extremal , el monomorfismo inmediato , el monomorfismo fuerte y el monomorfismo dividido .

• Se dice que un monomorfismo es regular si es un igualador de algún par de morfismos paralelos.
• Un monomorfismo${\displaystyle \mu }$Se dice que es extremal ^{[ 1 ]} si en cada representación${\displaystyle \mu =\varphi \circ \varepsilon }$, dónde${\displaystyle \varepsilon }$es un epimorfismo, el morfismo${\displaystyle \varepsilon }$es automáticamente un isomorfismo .
• Un monomorfismo${\displaystyle \mu }$Se dice que es inmediato si en cada representación${\displaystyle \mu =\mu '\circ \varepsilon }$, dónde${\displaystyle \mu '}$es un monomorfismo y${\displaystyle \varepsilon }$es un epimorfismo, el morfismo${\displaystyle \varepsilon }$es automáticamente un isomorfismo .
• Un monomorfismo${\displaystyle \mu :C\to D}$Se dice que es fuerte ^{[ 1 ] [ 2 ]} si para cualquier epimorfismo${\displaystyle \varepsilon :A\to B}$y cualquier morfismo${\displaystyle \alpha :A\to C}$y${\displaystyle \beta :B\to D}$de tal manera que${\displaystyle \beta \circ \varepsilon =\mu \circ \alpha }$, existe un morfismo${\displaystyle \delta :B\to C}$de tal manera que${\displaystyle \delta \circ \varepsilon =\alpha }$y${\displaystyle \mu \circ \delta =\beta }$.
• Un monomorfismo${\displaystyle \mu }$Se dice que está dividido si existe un morfismo.${\displaystyle \varepsilon }$de tal manera que${\displaystyle \varepsilon \circ \mu =1}$(en este caso${\displaystyle \varepsilon }$se denomina inversa del lado izquierdo para${\displaystyle \mu }$).

Los términos complementarios monomorfismo y epimorfismo fueron introducidos originalmente por Nicolas Bourbaki ; Bourbaki utiliza monomorfismo como abreviatura de una función inyectiva. Los primeros teóricos de categorías creían que la generalización correcta de la inyectividad al contexto de las categorías era la propiedad de cancelación mencionada anteriormente. Si bien esto no es del todo cierto para las aplicaciones mónicas, se aproxima mucho, por lo que no ha causado mayores problemas, a diferencia del caso de los epimorfismos. Saunders Mac Lane intentó establecer una distinción entre lo que denominó monomorfismos , que eran aplicaciones en una categoría concreta cuyas aplicaciones subyacentes de conjuntos eran inyectivas, y aplicaciones mónicas , que son monomorfismos en el sentido categórico del término. Esta distinción nunca se generalizó.

En forma adjetival, un monomorfismo se denomina mónico; en lenguaje abreviado común, también se le llama mono.

• Incrustación
• Descomposición nodal
• Subobjeto

• Bergman, George (2015). Una invitación al álgebra general y a las construcciones universales . Springer. ISBN 978-3-319-11478-1.
• Borceux, Francis (1994). Manual de álgebra categórica. Volumen 1: Teoría básica de categorías . Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193.
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• Van Oosten, Jaap (1995). "Teoría básica de categorías" (PDF) . Ciclo de conferencias BRICS . BRICS, Departamento de Informática, Universidad de Aarhus. ISSN 1395-2048 . 
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• Riehl, Emily (2016). Teoría de categorías en contexto (PDF) . Dover Publications. ISBN 978-0486809038.

• monomorfismo en el laboratorio n
• Monomorfismo fuerte en el laboratorio n