cardenal regular

En teoría de conjuntos , un cardinal regular es un número cardinal que es igual a su propia cofinalidad . Más explícitamente, esto significa que${\displaystyle \kappa }$es un cardinal regular si y solo si todo subconjunto no acotado${\displaystyle C\subseteq \kappa }$tiene cardinalidad${\displaystyle \kappa }$Los cardinales infinitos bien ordenados que no son regulares se denominan cardinales singulares . Los números cardinales finitos generalmente no se denominan regulares ni singulares.

En presencia del axioma de elección , cualquier número cardinal puede ser bien ordenado, por lo que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle \kappa }$es un cardenal común.
2. Si${\displaystyle \kappa =\textstyle \sum _ {i\in I}\lambda _ {i}}$y${\displaystyle \lambda _ {i}<\kappa}$a pesar de${\displaystyle i}$, entonces${\displaystyle |I|\geq \kappa }$.
3. Si${\displaystyle S=\textstyle \bigcup _ {i\in I}S_ {i}}$y si${\displaystyle |I|<\kappa }$y${\displaystyle |S_{i}|<\kappa }$a pesar de${\displaystyle i}$, entonces${\displaystyle |S|<\kappa }$. Es decir, cada unión de menos de${\displaystyle \kappa }$conjuntos más pequeños que${\displaystyle \kappa }$es más pequeño que${\displaystyle \kappa }$.
4. La categoría${\displaystyle \operatorname {Set} _{<\kappa }}$de conjuntos de cardinalidad menor que${\displaystyle \kappa }$y todas las funciones entre ellas están cerradas bajo colímites de cardinalidad menor que${\displaystyle \kappa }$.
5. ${\displaystyle \kappa }$es un ordinal regular (ver más abajo).

En términos generales, esto significa que un cardinal regular es aquel que no se puede descomponer en un número pequeño de partes más pequeñas.

La situación se complica ligeramente en contextos donde el axioma de elección podría fallar, ya que en ese caso no todos los cardinales son necesariamente cardinalidades de conjuntos bien ordenados. En ese caso, la equivalencia anterior solo se cumple para cardinales bien ordenados.

Un ordinal infinito${\displaystyle \alpha }$es un ordinal regular si es un ordinal límite que no es el límite de un conjunto de ordinales más pequeños que como conjunto tiene un tipo de orden menor que${\displaystyle \alpha }$. Un ordinal regular es siempre un ordinal inicial , aunque algunos ordinales iniciales no son regulares, por ejemplo,${\displaystyle \omega _ {\omega }}$(Véase el ejemplo a continuación).

Los ordinales menores que${\displaystyle \omega }$son finitos. Una secuencia finita de ordinales finitos siempre tiene un máximo finito, por lo que${\displaystyle \omega }$no puede ser el límite de ninguna secuencia de tipo menor que${\displaystyle \omega }$cuyos elementos son ordinales menores que${\displaystyle \omega }$y, por lo tanto, es un ordinal regular.${\displaystyle \aleph _{0}}$( aleph-null ) es un cardinal regular porque su ordinal inicial,${\displaystyle \omega }$, es regular. También se puede ver directamente que es regular, ya que la suma cardinal de un número finito de números cardinales finitos es en sí misma finita.

${\displaystyle \omega +1}$¿es el siguiente número ordinal mayor que?${\displaystyle \omega }$Es singular, puesto que no es un ordinal límite.${\displaystyle \omega +\omega }$es el siguiente límite ordinal después${\displaystyle \omega }$Se puede escribir como el límite de la secuencia${\displaystyle \omega }$,${\displaystyle \omega +1}$,${\displaystyle \omega +2}$,${\displaystyle \omega +3}$y así sucesivamente. Esta secuencia tiene tipo de orden${\displaystyle \omega }$, entonces${\displaystyle \omega +\omega }$es el límite de una secuencia de tipo menor que${\displaystyle \omega +\omega }$cuyos elementos son ordinales menores que${\displaystyle \omega +\omega }$; por lo tanto, es singular.

${\displaystyle \aleph _{1}}$¿es el siguiente número cardinal mayor que?${\displaystyle \aleph _{0}}$, por lo que los cardenales son menores que${\displaystyle \aleph _{1}}$son numerables (finitos o denumerables). Suponiendo el axioma de elección, la unión de un conjunto numerable de conjuntos numerables es también numerable. Por lo tanto,${\displaystyle \aleph _{1}}$no se puede escribir como la suma de un conjunto contable de números cardinales contables, y es regular.

${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el siguiente número cardinal después de la secuencia${\displaystyle \aleph _{0}}$,${\displaystyle \aleph _{1}}$,${\displaystyle \aleph _{2}}$,${\displaystyle \aleph _{3}}$y así sucesivamente. Su ordinal inicial${\displaystyle \omega _ {\omega }}$es el límite de la secuencia${\displaystyle \omega }$,${\displaystyle \omega _{1}}$,${\displaystyle \omega _{2}}$,${\displaystyle \omega _{3}}$y así sucesivamente, que tiene tipo de orden${\displaystyle \omega }$, entonces${\displaystyle \omega _ {\omega }}$es singular, y también lo es${\displaystyle \aleph _{\omega }}$. Suponiendo el axioma de elección,${\displaystyle \aleph _{\omega }}$es el primer cardinal infinito que es singular (el primer ordinal infinito que es singular es${\displaystyle \omega +1}$y el primer ordinal límite infinito que es singular es${\displaystyle \omega +\omega }$). Demostrar la existencia de cardinales singulares requiere el axioma de reemplazo y, de hecho, la incapacidad de demostrar la existencia de${\displaystyle \aleph _{\omega }}$En la teoría de conjuntos de Zermelo fue lo que llevó a Fraenkel a postular este axioma. ^{[ 1 ]}

Los cardinales límite (débiles) no numerables que también son regulares se conocen como cardinales (débilmente) inaccesibles . No se puede probar su existencia dentro de ZFC, aunque no se sabe que su existencia sea inconsistente con ZFC. Su existencia a veces se toma como un axioma adicional. Los cardinales inaccesibles son necesariamente puntos fijos de la función aleph , aunque no todos los puntos fijos son regulares. Por ejemplo, el primer punto fijo es el límite de la${\displaystyle \omega }$-secuencia${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{\omega },\aleph _{\omega _{\omega }},...}$y por lo tanto es singular.

Si se cumple el axioma de elección , entonces todo cardinal sucesor es regular. Por lo tanto, la regularidad o singularidad de la mayoría de los números aleph se puede comprobar dependiendo de si el cardinal es un cardinal sucesor o un cardinal límite. Algunas cardinalidades no se pueden demostrar que sean iguales a ningún aleph en particular, por ejemplo, la cardinalidad del continuo , cuyo valor en ZFC puede ser cualquier cardinal no numerable de cofinalidad no numerable (véase el teorema de Easton ). La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del continuo es igual a${\displaystyle \aleph _{1}}$, lo cual es regular asumiendo la elección.

Sin el axioma de elección, habría números cardinales que no serían bien ordenables. Además, la suma cardinal de una colección arbitraria no podría definirse. Por lo tanto, solo los números aleph podrían llamarse cardinales regulares o singulares de manera significativa. Además, un aleph sucesor no tendría por qué ser regular. Por ejemplo, la unión de un conjunto numerable de conjuntos numerables no sería necesariamente numerable. Es consistente con ZF que${\displaystyle \omega _{1}}$sea ​​el límite de una secuencia contable de ordinales contables, así como el conjunto de los números reales sea una unión contable de conjuntos contables. Además, es consistente con ZF cuando no se incluye AC que cada aleph mayor que${\displaystyle \aleph _{0}}$es singular (un resultado demostrado por Moti Gitik ).

Si${\displaystyle \kappa }$es un ordinal límite,${\displaystyle \kappa }$es regular si y solo si el conjunto de${\displaystyle \alpha <\kappa}$que son puntos críticos de${\displaystyle \Sigma _{1}}$- Incrustaciones elementales${\displaystyle j}$con${\displaystyle j(\alpha )=\kappa }$es club en${\displaystyle \kappa }$. ^{[ 2 ]}

Para los cardenales${\displaystyle \kappa <\theta }$, digamos que una incrustación elemental${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$una pequeña incrustación si${\displaystyle M}$es transitivo y${\displaystyle j({\textrm {crítico}}(j))=\kappa }$. Un cardenal${\displaystyle \kappa }$es incontable y regular si y solo si hay un${\displaystyle \alpha >\kappa }$de tal manera que para cada${\displaystyle \theta >\alpha }$, hay una pequeña incrustación${\displaystyle j:M\to H(\theta )}$. ^{[ 3 ] Corolario 2.2}

• Cardenal inaccesible

• Herbert B. Enderton , Elementos de la teoría de conjuntos , ISBN 0-12-238440-7
• Kenneth Kunen , Teoría de conjuntos, Introducción a las pruebas de independencia , ISBN 0-444-85401-0