Polígono regular

En geometría euclidiana , un polígono regular es un polígono equiangular directo (todos sus ángulos miden lo mismo) y equilátero (todos sus lados tienen la misma longitud). Los polígonos regulares pueden ser convexos o estrellados . En el límite , una sucesión de polígonos regulares con un número creciente de lados se aproxima a un círculo , si el perímetro o el área son fijos, o a un apeirogono regular (que es prácticamente una línea recta ), si la longitud de los lados es fija.

Propiedades generales

Estas propiedades se aplican a todos los polígonos regulares, ya sean convexos o estrellados :

Un polígono regular de n lados tiene simetría rotacional de orden n .

Todos los vértices de un polígono regular se encuentran sobre una circunferencia común (la circunferencia circunscrita ); es decir, son puntos concíclicos. En otras palabras, un polígono regular es un polígono cíclico .

Junto con la propiedad de tener lados de igual longitud, esto implica que todo polígono regular también tiene un círculo inscrito o círculo inscrito que es tangente a cada lado en su punto medio. Por lo tanto, un polígono regular es un polígono tangente .

Se puede construir un polígono regular de n lados con compás y regla si y solo si los factores primos impares de n son primos de Fermat distintos .

Se puede construir un polígono regular de n lados con origami si y solo si $n=2^{a}3^{b}p_{1}\cdots p_{r}$ para algunos $r\in \mathbb {N}$ , donde cada uno distinto $p_{i}$ es un número primo de Pierpont . ^{[ 1 ]}

Simetría

El grupo de simetría de un polígono regular de n lados es el grupo diedral D _n (de orden 2 n ): D ₂ , D ₃ , D ₄ , ... Consiste en las rotaciones en C _n , junto con la simetría de reflexión en n ejes que pasan por el centro. Si n es par, la mitad de estos ejes pasan por dos vértices opuestos, y la otra mitad por el punto medio de lados opuestos. Si n es impar, todos los ejes pasan por un vértice y el punto medio del lado opuesto.

Polígonos convexos regulares

Todos los polígonos simples regulares (un polígono simple es aquel que no se interseca a sí mismo en ningún punto) son convexos. Aquellos que tienen el mismo número de lados también son semejantes .

Un polígono regular convexo de n lados se denota por su símbolo de Schläfli. $\{n\}$ . Para $n<3$ Tenemos dos casos degenerados :

Monógono {1}; punto: Degenerado en el espacio ordinario . (La mayoría de los expertos no consideran al monógono un polígono verdadero, en parte por esto, y también porque las fórmulas que aparecen a continuación no funcionan, y su estructura no es la de ningún polígono abstracto ).
Digon {2}; segmento de línea: Degenerado en el espacio ordinario . (Algunas autoridades no consideran al digon un polígono verdadero debido a esto).

En ciertos contextos, todos los polígonos considerados serán regulares. En tales casos, se suele omitir el prefijo «regular». Por ejemplo, todas las caras de los poliedros uniformes deben ser regulares y se describirán simplemente como triángulo, cuadrado, pentágono, etc.

Anglos

Para un n -gono convexo regular , cada ángulo interior tiene una medida de:

{\frac {(n-2)180}{n}}

grados;

{\frac {(n-2)\pi }{n}}

radianes; o

{\frac {(n-2)}{2n}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}

giros completos ,

y cada ángulo exterior (es decir, suplementario al ángulo interior) tiene una medida de ${\tfrac {360}{n}}$ grados, con la suma de los ángulos exteriores igual a 360 grados o 2π radianes o una vuelta completa.

Cuando n tiende a infinito, el ángulo interno se aproxima a 180 grados. Para un polígono regular de 10 000 lados (un miriágono ), el ángulo interno es de 179,964°. A medida que aumenta el número de lados, el ángulo interno puede acercarse mucho a 180°, y la forma del polígono se aproxima a la de un círculo. Sin embargo, el polígono nunca puede ser un círculo. El valor del ángulo interno nunca puede ser exactamente igual a 180°, ya que la circunferencia se convertiría prácticamente en una línea recta (véase apeirogon ). Por esta razón, un círculo no es un polígono con un número infinito de lados.

Diagonales

Para $n>2$ , el número de diagonales es ${\tfrac {1}{2}}n(n-3)$ ; es decir, 0, 2, 5, 9, ..., para un triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, ... . Las diagonales dividen el polígono en 1, 4, 11, 24, ... piezas. ^{[ a ]}

Para un n -gono regular inscrito en un círculo de radio $1$ , el producto de las distancias desde un vértice dado a todos los demás vértices (incluidos los vértices adyacentes y los vértices conectados por una diagonal) es igual a n .

Puntos en el plano

$Para un n$ -gono regular simple con radio de circunferencia $R$ y distancias $d i$ desde un punto arbitrario en el plano hasta los vértices, tenemos ^{[ 2 ]}

{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}+3R^{4}={\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}+R^{2}{\biggr )}^{2}.

Para potencias mayores de distancias $d_{i}$ desde un punto arbitrario en el plano hasta los vértices de un $n$ -gono regular, si

S_{n}^{(2m)}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}

,

entonces ^{[ 3 ]}

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}\left(S_{n}^{(2)}-R^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

,

y

S_{n}^{(2m)}=\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\frac {1}{2^{k}}}{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}\left(S_{n}^{(4)}-\left(S_{n}^{(2)}\right)^{2}\right)^{k}\left(S_{n}^{(2)}\right)^{m-2k}

,

donde $m$ es un entero positivo menor que $n$ .

Si $L$ es la distancia desde un punto arbitrario en el plano hasta el centroide de un $n$ -gono regular con radio de circunferencia $R$ , entonces ^{[ 3 ]}

\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}=n\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m}+\sum _{k=1}^{\left\lfloor m/2\right\rfloor }{\binom {m}{2k}}{\binom {2k}{k}}R^{2k}L^{2k}\left(R^{2}+L^{2}\right)^{m-2k}\right)

,

dónde $m=1,2,\dots ,n-1$ .

Puntos interiores

Para un $n$ -gono regular, la suma de las distancias perpendiculares desde cualquier punto interior a los $n$ lados es $n$ veces la apotema ^{[ 4 ]}^{: p. 72} (la apotema es la distancia desde el centro a cualquier lado). Esta es una generalización del teorema de Viviani para el caso n = 3. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Circunradio

Pentágono regular ( n = 5) con lado s , radio de la circunferencia circunscrita R y apotema a

El radio de la circunferencia circunscrita R desde el centro de un polígono regular hasta uno de sus vértices está relacionado con la longitud del lado s o con la apotema a mediante

R={\frac {s}{2\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}={\frac {a}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\quad _{,}\quad a={\frac {s}{2\tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}

Para polígonos construibles , existen expresiones algebraicas para estas relaciones .

La suma de las perpendiculares trazadas desde los vértices de un n -gono regular a cualquier recta tangente a la circunferencia circunscrita es igual a n veces el radio de la circunferencia. ^{[ 4 ]}^{: pág. 73}

La suma de las distancias al cuadrado desde los vértices de un n -gono regular a cualquier punto de su circunferencia circunscrita es igual a 2 nR² ^, donde R es el radio de la circunferencia circunscrita. ^{[ 4 ]}^{: pág. 73}

La suma de las distancias al cuadrado desde los puntos medios de los lados de un n -gono regular a cualquier punto de la circunferencia circunscrita es 2 nR ² − ⁠ 1 / 4 ⁠ ns ² , donde s es la longitud del lado y R es el radio de la circunferencia circunscrita. ^{[ 4 ]}^{: p. 73}

Si $d_{i}$ son las distancias desde los vértices de una fila regular $n$ -se ha ido a cualquier punto de su circunferencia circunscrita, entonces ^{[ 3 ]}

3{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2}{\biggr )}^{2}=2n\sum _{i=1}^{n}d_{i}^{4}

.

Disecciones

Coxeter afirma que cada zonógono (un polígono de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) puede dividirse en ${\tbinom {m}{2}}$ o 1/2 m ( m − 1) paralelogramos. Estos recubrimientos están contenidos como subconjuntos de vértices, aristas y caras en ^proyeccionesortogonales m - cubos . ^[⁷ ]

En particular, esto se cumple para cualquier polígono regular con un número par de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Los polígonos regulares con 4m+2 lados pueden diseccionarse de forma que presenten simetría radial de orden (2m+1). La lista OEIS : A006245 proporciona el número de soluciones para polígonos más pequeños.

Área

El área A de un polígono regular convexo de n lados con lado s , radio de la circunferencia circunscrita R , apotema a y perímetro p viene dada por ^{[ 8 ]}^{[ 9 ].} ${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}nsa\\&={\tfrac {1}{2}}pa\\&={\tfrac {1}{4}}ns^{2}\cot \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&=na^{2}\tan \left({\tfrac {\pi }{n}}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}nR^{2}\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}\right)\end{aligned}}$

Para polígonos regulares con lado s = 1, radio de la circunferencia circunscrita R = 1 o apotema a = 1, esto produce la siguiente tabla: ^{[ b ]} ( Dado que $\cot x\rightarrow 1/x$ como $x\rightarrow 0$ , el área cuando $s=1$ tiende a $n^{2}/4\pi$ como $n$ crece mucho.)

De todos los n -gonos con un perímetro dado, el que tiene la mayor área es regular. ^{[ 10 ]}

Polígono construible

Algunos polígonos regulares son fáciles de construir con regla y compás ; otros son completamente imposibles de construir. Los antiguos matemáticos griegos sabían cómo construir un polígono regular de 3, 4 o 5 lados ^{[ 11 ]}^{: p. xi} , y también sabían cómo construir un polígono regular con el doble de lados que un polígono regular dado ^{[ 11 ]}^{: pp. 49-50.} Esto dio lugar a la pregunta: ¿es posible construir todos los n -gonos regulares con regla y compás? Si no, ¿qué n- gonos son construibles y cuáles no?

Carl Friedrich Gauss demostró la constructibilidad del polígono regular de 17 lados en 1796. Cinco años después, desarrolló la teoría de los períodos gaussianos en sus Disquisitiones Arithmeticae . Esta teoría le permitió formular una condición suficiente para la constructibilidad de polígonos regulares:

Se puede construir un polígono regular de n lados con compás y regla si n es el producto de una potencia de 2 y cualquier número de primos de Fermat distintos (incluido ninguno).

(Un primo de Fermat es un número primo de la forma $2^{\left(2^{n}\right)}+1.$ Gauss afirmó, sin demostrarlo, que esta condición también era necesaria , pero nunca publicó su demostración. Pierre Wantzel proporcionó una demostración completa de la necesidad en 1837. El resultado se conoce como el teorema de Gauss-Wantzel .

De forma equivalente, un n -gono regular es construible si y solo si el coseno de su ángulo común es un número construible , es decir, se puede escribir en términos de las cuatro operaciones aritméticas básicas y la extracción de raíces cuadradas.

Polígonos sesgados regulares

Un polígono sesgado regular en el espacio tridimensional puede verse como trayectorias no planas que zigzaguean entre dos planos paralelos, definidos como las aristas laterales de un antiprisma uniforme . Todas las aristas y ángulos internos son iguales.

En términos más generales, los polígonos sesgados regulares se pueden definir en el espacio n . Algunos ejemplos son los polígonos de Petrie , trayectorias poligonales de aristas que dividen un politopo regular en dos mitades, y que se ven como un polígono regular en proyección ortogonal.

En el límite infinito, los polígonos sesgados regulares se convierten en apeirogonos sesgados .

Polígonos de estrellas regulares

Un polígono regular no convexo es un polígono estrellado regular . El ejemplo más común es el pentagrama , que tiene los mismos vértices que un pentágono , pero conecta vértices alternos.

Para un polígono estrellado de n lados, el símbolo de Schläfli se modifica para indicar la densidad o "estrellamiento" m del polígono, como { n / m }. Si m es 2, por ejemplo, se unen cada segundo punto. Si m es 3, se unen cada tercer punto. El contorno del polígono se enrolla alrededor del centro m veces.

Las estrellas regulares (no degeneradas) de hasta 12 lados son:

Pentagrama – {5/2}
Heptagrama – {7/2} y {7/3}
Octagrama – {8/3}
Eneagrama – {9/2} y {9/4}
Decagrama – {10/3}
Hendecagrama – {11/2}, {11/3}, {11/4} y {11/5}
Dodecagrama – {12/5}

m y n deben ser coprimos , o la figura se degenerará.

Las estrellas regulares degeneradas de hasta 12 lados son:

Tetrágono – {4/2}
Hexágonos – {6/2}, {6/3}
Octágonos – {8/2}, {8/4}
Eneagón – {9/3}
Decágonos: {10/2}, {10/4} y {10/5}
Dodecágonos: {12/2}, {12/3}, {12/4} y {12/6}

Dependiendo de la derivación precisa del símbolo de Schläfli, existen diferentes opiniones sobre la naturaleza de la figura degenerada. Por ejemplo, {6/2} puede tratarse de dos maneras:

Durante gran parte del siglo XX (véase, por ejemplo, Coxeter (1948) ), hemos utilizado comúnmente el /2 para indicar la unión de cada vértice de un {6} convexo con sus vecinos más cercanos a dos pasos de distancia, para obtener el compuesto regular de dos triángulos o hexagrama .
Coxeter aclara este compuesto regular con una notación { kp }[ k { p }]{ kp } para el compuesto { p / k }, de modo que el hexagrama se representa como {6}[2{3}]{6}. ^{[ 14 ]} De forma más compacta, Coxeter también escribe 2{ n /2}, como 2{3} para un hexagrama compuesto como alternancias de polígonos regulares de lados pares, con cursiva en el factor principal para diferenciarlo de la interpretación coincidente. ^{[ 15 ]}
Muchos geómetras modernos, como Grünbaum (2003), ^{[ 13 ]} consideran esto incorrecto. Toman el /2 para indicar que se mueven dos lugares alrededor del {6} en cada paso, obteniendo un triángulo "doblemente enrollado" que tiene dos vértices superpuestos en cada punto de esquina y dos aristas a lo largo de cada segmento de línea. Esto no solo encaja mejor con las teorías modernas de politopos abstractos , sino que también reproduce más fielmente la forma en que Poinsot (1809) creó sus polígonos estrellados: tomando un solo trozo de alambre y doblándolo en puntos sucesivos con el mismo ángulo hasta que la figura se cierra.

Dualidad de polígonos regulares

Todos los polígonos regulares son autoduales a la congruencia , y para n impar son autoduales a la identidad.

Además, las figuras estelares regulares (compuestas), al estar formadas por polígonos regulares, también son autoduales.

Polígonos regulares como caras de poliedros

Un poliedro uniforme tiene polígonos regulares como caras, de tal manera que para cada par de vértices existe una isometría que los transforma uno en el otro (al igual que ocurre con un polígono regular).

Un poliedro cuasirregular es un poliedro uniforme que tiene solo dos tipos de caras que se alternan alrededor de cada vértice.

Un poliedro regular es un poliedro uniforme que tiene un solo tipo de cara.

Los poliedros convexos restantes (no uniformes) con caras regulares se conocen como sólidos de Johnson .

Un poliedro cuyas caras son triángulos regulares se llama deltaedro .

Véase también

Notas

↑ (secuencia A007678 en el OEIS )

↑ Resultados para R = 1 y a = 1 obtenidos con Maple , utilizando la definición de función:

f := proc ( n ) opciones operador , flecha ; [ [ convertir ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convertir ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , flotante )] , [ convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , radical ) , convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , flotante ) , convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , flotante )] , [ convertir ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convertir ( n * tan ( Pi / n ) , flotante ) , convertir ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , flotante )] ] fin proc

Las expresiones para n = 16 se obtienen aplicando dos veces la fórmula de la tangente del semiángulo a tan(π/4).

Referencias

↑ Hwa, Young Lee (2017). Origami-Constructible Numbers (PDF) (tesis de maestría). Universidad de Georgia. pp. 55– 59.
↑ Park, Poo-Sung. "Diferencias de politopos regulares", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Archivado el 10 de octubre de 2016 en Wayback Machine
1 2 3 Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos" . Communications in Mathematics and Applications . 11 : 335–355 . arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (inactivo el 1 de julio de 2025).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )
1 2 3 4 Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (original de 1929).
↑ Pickover, Clifford A., El libro de matemáticas , Sterling, 2009: pág. 150
^ Chen, Zhibo y Liang, Tian. "Lo contrario del teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, págs.
↑ Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, Decimotercera edición, pág. 141
↑ "Math Open Reference" . Consultado el 4 de febrero de 2014 .
↑ "Palabras matemáticas" .
↑ Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
1 2 Bold, Benjamin. Problemas famosos de geometría y cómo resolverlos , Dover Publications, 1982 (original de 1969).
↑ Kappraff, Jay (2002). Más allá de la medida: un recorrido guiado por la naturaleza, el mito y los números . World Scientific. pág. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
1 2 ¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros? Branko Grünbaum (2003), Fig. 3
↑ Politopos regulares, pág. 95
↑ Coxeter, Las densidades de los politopos regulares II, 1932, pág. 53

Lecturas adicionales

Lee, Hwa Young; "Números construibles mediante origami".
Coxeter, HSM (1948). Politopos regulares . Methuen and Co.
Grünbaum, B.; ¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros?, Discrete and comput. geom: the Goodman-Pollack festschrift , Ed. Aronov et al., Springer (2003), pp. 461–488.
Poinsot, L .; Memoria sobre los polígonos y poliedres. J. de l'École Polytechnique 9 (1810), págs. 16–48.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Polígono regular" . MathWorld .
Descripción de polígono regular con animación interactiva.
Círculo inscrito en un polígono regular con animación interactiva
Area of a Regular Polygon Three different formulae, with interactive animation
Renaissance artists' constructions of regular polygonsArchived 2006-02-12 at the Wayback Machine at ConvergenceArchived 2006-02-12 at the Wayback Machine

[2] (secuencia A007678 en el OEIS )

[11] Resultados para R = 1 y a = 1 obtenidos con Maple , utilizando la definición de función:
f := proc ( n ) opciones operador , flecha ; [ [ convertir ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , radical ) , convertir ( 1 / 4 * n * cot ( Pi / n ) , flotante )] , [ convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , radical ) , convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) , flotante ) , convertir ( 1 / 2 * n * sin ( 2 * Pi / n ) / Pi , flotante )] , [ convertir ( n * tan ( Pi / n ) , radical ) , convertir ( n * tan ( Pi / n ) , flotante ) , convertir ( n * tan ( Pi / n ) / Pi , flotante )] ] fin proc
Las expresiones para n = 16 se obtienen aplicando dos veces la fórmula de la tangente del semiángulo a tan(π/4).

[1] Hwa, Young Lee (2017). Origami-Constructible Numbers (PDF) (tesis de maestría). Universidad de Georgia. pp. 55– 59.

[3] Park, Poo-Sung. "Diferencias de politopos regulares", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Archivado el 10 de octubre de 2016 en Wayback Machine

[Mamuka-4] 1 2 3 Meskhishvili, Mamuka (2020). "Promedios cíclicos de polígonos regulares y sólidos platónicos" . Communications in Mathematics and Applications . 11 : 335–355 . arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (inactivo el 1 de julio de 2025).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactivo desde julio de 2025 ( enlace )

[Johnson-5] 1 2 3 4 Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (original de 1929).

[6] Pickover, Clifford A., El libro de matemáticas , Sterling, 2009: pág. 150

[7] Chen, Zhibo y Liang, Tian. "Lo contrario del teorema de Viviani", The College Mathematics Journal 37(5), 2006, págs.

[8] Coxeter , Recreaciones matemáticas y ensayos, Decimotercera edición, pág. 141

[9] "Math Open Reference" . Consultado el 4 de febrero de 2014 .

[10] "Palabras matemáticas" .

[12] Chakerian, GD "Una visión distorsionada de la geometría". Cap. 7 en Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.

[Bold-13] 1 2 Bold, Benjamin. Problemas famosos de geometría y cómo resolverlos , Dover Publications, 1982 (original de 1969).

[14] Kappraff, Jay (2002). Más allá de la medida: un recorrido guiado por la naturaleza, el mito y los números . World Scientific. pág. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.

[Branko-15] 1 2 ¿Son tus poliedros iguales a mis poliedros? Branko Grünbaum (2003), Fig. 3

[16] Politopos regulares, pág. 95

[17] Coxeter, Las densidades de los politopos regulares II, 1932, pág. 53

[ 1 ]

[ a ]

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proyecciones

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[ b ]

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