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En geometría , un polígono oblicuo es un polígono cuyos vértices no son todos coplanares . [1] Los polígonos oblicuo deben tener al menos cuatro vértices . La superficie interior (o área) de un polígono de este tipo no está definida de forma única.
Los polígonos infinitos oblicuos (apeirogonos) tienen vértices que no son todos colineales.
Un polígono oblicuo en zigzag o polígono antiprismático [2] tiene vértices que se alternan en dos planos paralelos y, por lo tanto, debe tener lados pares.
Los polígonos oblicuos regulares en 3 dimensiones (y los apeirógonos oblicuos regulares en dos dimensiones) siempre son en zigzag.
Polígonos oblicuos en tres dimensiones
Un polígono oblicuo regular es una realización simétrica fiel de un polígono de dimensión mayor que 2. En 3 dimensiones, un polígono oblicuo regular tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.
A un n -gono oblicuo regular se le puede dar un símbolo de Schläfli { p }#{} como una mezcla de un polígono regular p y un segmento de línea ortogonal { }. [3] La operación de simetría entre vértices secuenciales es la reflexión de deslizamiento .
Se muestran ejemplos en los antiprismas cuadrado y pentágono uniformes. Los antiprismas estrella también generan polígonos oblicuos regulares con diferente orden de conexión de los polígonos superior e inferior. Los polígonos superior e inferior rellenos se dibujan para mayor claridad estructural y no son parte de los polígonos oblicuos.
Los polígonos de Petrie son polígonos oblicuos regulares definidos dentro de poliedros y politopos regulares. Por ejemplo, los cinco sólidos platónicos tienen polígonos oblicuos regulares de 4, 6 y 10 lados, como se ve en estas proyecciones ortogonales con bordes rojos alrededor de sus respectivas envolventes proyectivas . El tetraedro y el octaedro incluyen todos los vértices en sus respectivos polígonos oblicuos en zigzag, y pueden verse como un antiprisma diagonal y un antiprisma triangular respectivamente.
Polígono oblicuo regular como figura de vértice de un poliedro oblicuo regular
Un poliedro oblicuo regular tiene caras poligonales regulares y una figura de vértice de polígono oblicuo regular .
Tres poliedros regulares oblicuo infinitos ocupan el espacio en el 3-espacio; otros existen en el 4-espacio , algunos dentro de los 4-politopos uniformes .
Polígonos oblicuos regulares en cuatro dimensiones
En 4 dimensiones, un polígono oblicuo regular puede tener vértices en un toro de Clifford y estar relacionado por un desplazamiento de Clifford . A diferencia de los polígonos oblicuo en zigzag, los polígonos oblicuo en rotaciones dobles pueden incluir un número impar de lados.
Los polígonos de Petrie de los 4-politopos regulares definen polígonos oblicuos en zigzag regulares. El número de Coxeter para cada simetría de grupo de Coxeter expresa cuántos lados tiene un polígono de Petrie. Esto es 5 lados para un polígono de 5 celdas , 8 lados para un teseracto y uno de 16 celdas , 12 lados para un polígono de 24 celdas y 30 lados para un polígono de 120 celdas y uno de 600 celdas .
Cuando se proyectan ortogonalmente sobre el plano de Coxeter , estos polígonos oblicuos regulares aparecen como envolventes de polígonos regulares en el plano.
Los duoprismas n - n y las duopirámides duales también tienen 2 polígonos de Petrie n -gonales. (El teseracto es un duoprisma 4-4 y la duopirámide de 16 celdas es una duopirámide 4-4).
Véase también
- Polígono de Petrie
- Cuadrilátero § Cuadriláteros oblicuos
- Poliedro oblicuo regular
- Apeiroedro oblicuo (poliedro oblicuo infinito)
- Líneas oblicuas
Citas
- ^ Coxeter 1973, §1.1 Polígonos regulares; "Si los vértices son todos coplanares, hablamos de un polígono plano , de lo contrario, de un polígono oblicuo ".
- ^ Politopos complejos regulares, pág. 6
- ^ Resumen de politopos regulares, p.217
Referencias
- McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1.ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0pág. 25
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X."Polígonos oblicuos (polígonos de silla de montar)" §2.2
- Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover.
- Coxeter , HSM; Politopos complejos regulares (1974). Capítulo 1. Polígonos regulares , 1.5. Polígonos regulares en n dimensiones, 1.7. Polígonos en zigzag y antiprismáticos , 1.8. Polígonos helicoidales . 4.3. Banderas y ortosquemas , 11.3. Polígonos de Petrie
- Coxeter , HSM Petrie Polygons. Regular Polytopes , 3.ª ed. Nueva York: Dover, 1973. (véase 2.6 Petrie Polygons, págs. 24-25, y Capítulo 12, págs. 213-235, El polígono de Petrie generalizado )
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-09212-9.(1ª ed, 1957) 5.2 El polígono de Petrie {p,q}.
- John Milnor : Sobre la curvatura total de los nudos , Ann. Math. 52 (1950) 248–257.
- JM Sullivan : Curvas de curvatura total finita , ArXiv:math.0606007v2
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Polígono oblicuo". MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Polígono de Petrie". MathWorld .