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Articulo de referencia

4-politopo regular

El teseracto es uno de los 6 politopos regulares convexos de dimensión 4. En matemáticas , un politopo regular de cuatro dimensiones o policoro regular es un politopo regular de...

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El teseracto es uno de los 6 politopos regulares convexos de dimensión 4.

En matemáticas , un politopo regular de cuatro dimensiones o policoro regular es un politopo regular de cuatro dimensiones . Son los análogos cuatridimensionales de los poliedros regulares en tres dimensiones y de los polígonos regulares en dos dimensiones.

Hay seis politopos regulares convexos y diez estrellados de 4 lados, lo que da un total de dieciséis.

Historia

Los 4-politopos regulares convexos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. [ 1 ] Descubrió que existen precisamente seis de estas figuras.

Schläfli también encontró cuatro de los 4-politopos estrellados regulares: el gran 120-celda , el gran 120-celda estrellado , el gran 600-celda y el gran gran 120-celda estrellado . Omitió los seis restantes porque no permitiría formas que no cumplieran la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de cero agujeros: F − E + V = 2). Esto excluye celdas y figuras de vértice como el gran dodecaedro {5, ⁠ 5 / 2 ⁠ } y el pequeño dodecaedro estrellado { ⁠ 5 / 2 ⁠ ,5}.      

Edmund Hess (1843 – 1903) publicó la lista completa en su libro alemán de 1883 Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder .

Construcción

La existencia de un 4-politopo regular{pag,q,r}{\displaystyle \{p,q,r\}}está limitado por la existencia de los poliedros regulares{pag,q},{q,r}{\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}que forman sus células y una restricción de ángulo diedro

pecado⁡πpagpecado⁡πr>porque⁡πq{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}}

para asegurar que las células se unan para formar una superficie cerrada de 3 lados.

Los seis politopos convexos y los diez politopos estrellados descritos son las únicas soluciones a estas restricciones.

Hay cuatro símbolos de Schläfli no convexos {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r}, y pasan la prueba diedral, pero no producen figuras finitas: {3, ⁠ 5 / 2 ⁠ ,3}, {4,3, ⁠ 5 / 2 ⁠ }, { ⁠ 5 / 2 ⁠ ,3,4}, { ⁠ 5 / 2 ⁠ ,3, ⁠ 5 / 2 ⁠ }.

4-politopos convexos regulares

Los 4-politopos convexos regulares son los análogos cuatridimensionales de los sólidos platónicos en tres dimensiones y de los polígonos regulares convexos en dos dimensiones.

Cada 4-politopo regular convexo está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales, todas ellas sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Estas se encajan entre sí a lo largo de sus respectivas caras (cara a cara) de forma regular, formando la superficie del 4-politopo, que es un espacio tridimensional cerrado y curvo (de forma análoga a como la superficie de la Tierra es un espacio bidimensional cerrado y curvo).

Propiedades

Al igual que sus análogos tridimensionales, los 4-politopos regulares convexos pueden ordenarse naturalmente por tamaño como una medida de contenido tetradimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido dentro del mismo radio. [ 2 ] El 4-símplex (5-celda) tiene el contenido más pequeño, y la 120-celda tiene el más grande.

La siguiente tabla enumera algunas propiedades de los seis 4-politopos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos 4-politopos son todos grupos de Coxeter y se presentan con la notación descrita en dicho artículo. El número que sigue al nombre del grupo indica su orden .

John Conway abogó por los nombres simplex, ortoplex, teseracto, octaplex o polioctaedro (pO), tetraplex o politetraedro (pT) y dodecaplex o polidodecaedro (pD). [ 3 ]

Norman Johnson abogó por los nombres n-celda, o pentacoron, hexadecacoron, teseracto u octacoron, icositetracoron, hexacosicoron y hecatonicosacoron (o dodecacontacoron), acuñando el término policoron como una analogía 4D del poliedro 3D y el polígono 2D, expresado a partir de las raíces griegas poly ("muchos") y choros ("habitación" o "espacio"). [ 4 ] [ 5 ]

La característica de Euler para todos los 4-politopos es cero, tenemos el análogo 4-dimensional de la fórmula poliédrica de Euler:

norte0−norte1+norte2−norte3=0{\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}

donde N k denota el número de k -caras en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).

La topología de cualquier 4-politopo dado se define por sus números de Betti y coeficientes de torsión . [ 6 ]

Como configuraciones

Un 4-politopo regular puede describirse completamente como una matriz de configuración que contiene recuentos de sus elementos componentes. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en todo el 4-politopo. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. Por ejemplo, en cualquier 4-politopo regular, hay 2 vértices en cada arista (cada arista tiene 2 vértices) y 2 celdas se encuentran en cada cara (cada cara pertenece a 2 celdas). La configuración del politopo dual se puede obtener rotando la matriz 180 grados. [ 7 ] [ 8 ]

Visualización

La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos 4-politopos. En los enlaces externos que aparecen a continuación se pueden encontrar otras visualizaciones. Los diagramas de Coxeter-Dynkin también se muestran debajo del símbolo de Schläfli .

Estrella regular (Schläfli-Hess) 4 politopos

Esto muestra las relaciones entre los politopos estrellados de cuatro dimensiones. Las 2 formas convexas y las 10 formas estrelladas pueden verse en 3D como los vértices de un cuboctaedro . [ 9 ]
Un subconjunto de relaciones entre 8 formas del polidodecaedro (pD) de 120 celdas. Las tres operaciones {a, g, s} son conmutativas, definiendo un marco cúbico. Se observan 7 densidades en el posicionamiento vertical, con 2 formas duales que tienen la misma densidad.

Los 4-politopos de Schläfli - Hess son el conjunto completo de 10 policoros estrellados regulares que se autointersecan ( politopos de cuatro dimensiones ). [ 10 ] Reciben su nombre en honor a sus descubridores: Ludwig Schläfli y Edmund Hess . Cada uno está representado por un símbolo de Schläfli { p , q , r } en el que uno de los números es 5 / 2 . Son, por lo tanto, análogos a los poliedros regulares no convexos de Kepler-Poinsot , que a su vez son análogos al pentagrama.

Nombres

Los nombres que se mencionan aquí fueron dados por John Conway , quien extendió los nombres que Cayley les dio a los poliedros de Kepler-Poinsot : junto con estrellado y grande , agregó el modificador grandioso . Conway ofreció estas definiciones operacionales:

  1. Estelación : reemplaza los bordes con bordes más largos en las mismas líneas. (Ejemplo: un pentágono se estela para formar un pentagrama ).
  2. Ampliación : reemplaza las caras con caras más grandes en los mismos planos. (Ejemplo: un icosaedro se amplía hasta convertirse en un gran icosaedro ).
  3. Ampliación : reemplaza las celdas con otras más grandes en los mismos espacios de 3. (Ejemplo: una celda de 600 se amplía a una celda gigante de 600 ).

John Conway nombra las 10 formas de 3 politopos 4-celulares regulares: pT=politetraedro {3,3,5} (un tetraédrico de 600 celdas ), pI=poliicosaedro {3,5, ⁠ 5 / 2 ⁠ } (un icosaedro de 120 celdas ) y pD=polidodecaedro {5,3,3} (un dodecaedro de 120 celdas ), con modificadores de prefijo: g , a y s para grand, (ag)grand y stellated. La stellation final, el gran polidodecaedro estrellado, los contiene a todos como gaspD .

Simetría

Los diez policoros tienen simetría hexacosicórica [3,3,5] ( H 4 ) . Se generan a partir de 6 grupos de simetría de orden racional de tetraedros de Goursat relacionados : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] y [3,3,5/2].

Cada grupo tiene 2 policoros estrellados regulares, excepto dos grupos que son autoduales y tienen solo uno. Por lo tanto, hay 4 pares duales y 2 formas autoduales entre los diez policoros estrellados regulares.

Propiedades

Nota:

Las celdas (poliedros), sus caras (polígonos), las figuras de los bordes poligonales y las figuras de los vértices poliédricos se identifican mediante sus símbolos de Schläfli .

Véase también

Notas

Referencias

Citas

  1. ↑ Coxeter 1973 , pág. 141, §7-x. Observaciones históricas.
  2. ↑ Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii): Los dieciséis politopos regulares { p,q,r } en cuatro dimensiones.
  3. ↑ Conway, Burgiel y Goodman-Strauss 2008 , Cap. 26. Aún más alto
  4. ↑ "Polígonos convexos y abstractos", Programa y resúmenes, MIT, 2005
  5. ↑ Johnson, Norman W. (2018). "§ 11.5 Grupos de Coxeter esféricos" . Geometrías y transformaciones . Cambridge University Press. págs.  246–. ISBN 978-1-107-10340-5.
  6. ↑ Richeson, David S. (2012). «23. Henri Poincaré y el auge de la topología» . Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology . Princeton University Press. pp. 256–. ISBN  978-0-691-15457-2.
  7. ↑ Coxeter 1973 , § 1.8 Configuraciones
  8. ↑ Coxeter, Politopos regulares complejos, pág. 117
  9. ↑ Conway, Burgiel y Goodman-Strauss 2008 , pág. 406, fig. 26.2 
  10. ^ Coxeter, Politopos estelares y la función de Schläfli f { α , β , γ ) p. 122 2. Los politopos de Schläfli-Hess

Bibliografía

  • Coxeter, HSM (1969). Introducción a la geometría (2.ª  ed.). Wiley. ISBN 0-471-50458-0.
  • DMY Sommerville (2020) [1930]. «X. Los politopos regulares» . Introducción a la geometría de n dimensiones . Courier Dover. págs. 159–192 . ISBN  978-0-486-84248-6.
  • Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). «26. Politopos estelares regulares». Las simetrías de las cosas . págs. 404–8 . ISBN  978-1-56881-220-5.
  • Hess, Edmund (1883). "Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder" .
  • Hess, Edmundo (1885). "Uber die regular Polytope höherer Art". Sitzungsber Gesells Beförderung Gesammten Naturwiss Marburg : 31– 57.
  • Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivić, eds. (1995). Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter . Wiley. ISBN 978-0-471-01003-6.
    • (Documento 10) Coxeter, HSM (1989). "Polítopos estelares y la función Schläfli f (α, β, γ)" . Elementos de Matemáticas . 44 (2): 25-36 .
  • Coxeter, HSM (1991). Politopos complejos regulares (2.ª  ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-39490-1.
  • McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). Abstract Regular Polytopes . Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Vol.  92. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81496-6.Capítulo I Politopos regulares clásicos (Texto de ejemplo)
  • Weisstein, Eric W. "Policoron regular" . MathWorld .
  • Jonathan Bowers, 16 politopos regulares de 4 elementos
  • Despliegues regulares de politopos 4D archivados el 17/07/2011 en Wayback Machine.
  • Catálogo de imágenes de politopos. Una colección de proyecciones estereográficas de 4 politopos.
  • Un catálogo de politopos uniformes
  • Película de 2 horas de duración titulada Dimensions, que trata sobre la cuarta dimensión (contiene proyecciones estereográficas de todos los 4-politopos regulares).
  • Politopo regular
  • La estrella policora regular
  • Hipersólidos