Teoría de la regularidad

La regularidad es un tema del estudio matemático de las ecuaciones diferenciales parciales (EDP), como la ecuación de Laplace , que trata sobre la integrabilidad y la diferenciabilidad de las soluciones débiles . El decimonoveno problema de Hilbert se refería a este concepto. ^{[ 1 ]}

La motivación de este estudio es la siguiente. ^{[ 2 ]} A menudo es difícil construir una solución clásica que satisfaga la EDP en un sentido regular, por lo que primero buscamos una solución débil y luego averiguamos si la solución débil es lo suficientemente suave como para calificarse como una solución clásica.

Se han propuesto varios teoremas para diferentes tipos de EDP.

Dejar${\displaystyle U}$sea ​​un subconjunto abierto y acotado de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, denotamos su frontera como${\displaystyle \partial U}$y las variables como${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$Representar la EDP como un operador diferencial parcial${\displaystyle L}$actuando sobre una función desconocida${\displaystyle u=u(x)}$de${\displaystyle x\in U}$da como resultado un BVP de la forma$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}Lu&=f&&{\text{en }}U\\u&=0&&{\text{en }}\partial U,\end{aligned}}\right.}$$dónde${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} }$es una función dada${\displaystyle f=f(x)}$y${\displaystyle u:U\cup \partial U\rightarrow \mathbb {R} }$y el operador elíptico${\displaystyle L}$es de la forma divergente :$${\displaystyle Lu(x)=-\sum _{i,j=1}^{n}(a_{ij}(x)u_{x_{i}})_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(x)+c(x)u(x),}$$entonces

• Regularidad interior : Si m es un número natural,${\displaystyle a^{ij},b^{j},c\in C^{m+1}(U),f\in H^{m}(U)}$(2),${\displaystyle u\in H_{0}^{1}(U)}$es una solución débil, entonces para cualquier conjunto abierto V en U con cierre compacto,${\displaystyle \|u\|_{H^{m+2}(V)}\leq C(\|f\|_{H^{m}(U)}+\|u\|_{L^{2}(U)})}$(3), donde C depende de U, V, L, m , per se${\displaystyle u\in H_{loc}^{m+2}(U)}$, lo cual también se cumple si m es infinito según el teorema de incrustación de Sobolev .
• Regularidad de frontera : (2) junto con la suposición de que${\displaystyle \partial U}$es${\displaystyle C^{m+2}}$indica que (3) sigue siendo válida después de reemplazar V por U, es decir${\displaystyle u\in H^{m+2}(U)}$, lo cual también se cumple si m es infinito.

Las EDP parabólicas e hiperbólicas describen la evolución temporal de una magnitud u regida por un operador elíptico L y una fuerza externa f sobre un espacio${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$Suponemos que el límite de U es suave y que el operador elíptico es independiente del tiempo, con coeficientes suaves, es decir$${\displaystyle Lu(t,x)=-\sum _{i,j=1}^{n}{\big (}a_{ij}(x)u_{x_{i}}(t,x){\big )}_{x_{j}}+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x)u_{x_{i}}(t,x)+c(x)u(t,x).}$$Además, consideramos que el valor límite de u es 0.

Entonces, la regularidad de la solución viene dada por la siguiente tabla,

donde m es un número natural,${\displaystyle x\in U}$denota la variable espacial, t denota la variable temporal, H ^s es un espacio de Sobolev de funciones con derivadas débiles de cuadrado integrable, y L _t ^p X es el espacio de Bochner de funciones integrables con valores en X.

No todas las soluciones débiles son suaves; por ejemplo, puede haber discontinuidades en las soluciones débiles de las leyes de conservación llamadas ondas de choque. ^{[ 3 ]}