Integral regulada

Sea [ a , b ] un intervalo fijo , cerrado y acotado en la recta real R . Una función de valores reales φ : [ a , b ] → R se denomina función escalonada si existe una partición finita de dicho intervalo.  

${\displaystyle \Pi =\{a=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{k}=b\}}$

de [ a , b ] tal que φ sea constante en cada intervalo abierto ( t _i , t _{i +1} ) de Π; supongamos que este valor constante es c _i ∈ R . Entonces, definimos la integral de una función escalón φ como

${\displaystyle \int _{a}^{b}\varphi (t)\,\mathrm {d} t:=\sum _{i=0}^{k-1}c_{i}|t_{i+1}-t_{i}|.}$

Se puede demostrar que esta definición es independiente de la elección de la partición, ya que si Π ₁ es otra partición de [ a , b ] tal que φ es constante en los intervalos abiertos de Π ₁ , entonces el valor numérico de la integral de φ es el mismo para Π ₁ que para Π. 

Una función f  : [ a , b ] → R se denomina función regulada si es el límite uniforme de una secuencia de funciones escalonadas en [ a , b ]:

• existe una secuencia de funciones escalonadas ( φ _n ) _{n ∈ N} tales que || φ _n − f || _∞ → 0 cuando n → ∞; o, equivalentemente,
• para todo ε > 0, existe una función escalón φ _ε tal que || φ _ε − f || _∞ < ε ; o, equivalentemente,
• f se encuentra en la clausura del espacio de funciones escalonadas, donde la clausura se toma en el espacio de todas las funciones acotadas [ a , b ] → R y con respecto a la norma del supremo ||  ⋅  || _∞ ; o equivalentemente,
• para cada t ∈ [ a , b ) , el límite lateral derecho

  ${\displaystyle f(t+)=\lim _{s\downarrow t}f(s)}$

  existe, y, para cada t ∈ ( a , b ] , el límite del lado izquierdo

  ${\displaystyle f(t-)=\lim _{s\uparrow t}f(s)}$

  También existe.

Definimos la integral de una función regulada f como

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t:=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}\varphi _{n}(t)\,\mathrm {d} t,}$

donde ( φ _n ) _{n ∈ N} es cualquier secuencia de funciones escalonadas que converge uniformemente a f .

Hay que comprobar que este límite existe y es independiente de la secuencia elegida, pero esto es una consecuencia inmediata del teorema de extensión lineal continua del análisis funcional elemental: un operador lineal acotado T ₀ definido en un subespacio lineal denso E ₀ de un espacio lineal normado E y que toma valores en un espacio de Banach F se extiende de forma única a un operador lineal acotado T : E → F con la misma norma de operador (finita) .