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Articulo de referencia

Fórmula de Reilly

En el campo matemático de la geometría riemanniana , la fórmula de Reilly es una identidad importante , descubierta por Robert Reilly en 1977. [ 1 ] Esta fórmula establece que, ...

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En el campo matemático de la geometría riemanniana , la fórmula de Reilly es una identidad importante , descubierta por Robert Reilly en 1977. [ 1 ] Esta fórmula establece que, dada una variedad riemanniana suave con frontera ( M , g ) y una función suave u en M , se tiene

∫∂METRO(H(∂tú∂ν)2+2∂tú∂νΔ∂METROtú+h(∇∂METROtú,∇∂METROtú))=∫METRO((Δtú)2−|∇∇tú|2−Ric⁡(∇tú,∇tú)),{\displaystyle \int _{\partial M}\left(H{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}{\Big )}^{2}+2{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\Delta ^{\partial M}u+h{\big (}\nabla ^{\partial M}u,\nabla ^{\partial M}u{\big )}\right)=\int _{M}{\Big (}(\Delta u)^{2}-|\nabla \nabla u|^{2}-\operatorname {Ric} (\nabla u,\nabla u){\Big )},}

en la que h es la segunda forma fundamental del límite de M , H es su curvatura media y ν es su vector normal unitario. [ 2 ] [ 3 ] Esto se usa a menudo en combinación con la observación

|∇∇tú|2=1norte(Δtú)2+|∇∇tú−1norte(Δtú)gramo|2≥1norte(Δtú)2,{\displaystyle |\nabla \nabla u|^{2}={\frac {1}{n}}(\Delta u)^{2}+{\Big |}\nabla \nabla u-{\frac {1}{n}}(\Delta u)g{\Big |}^{2}\geq {\frac {1}{n}}(\Delta u)^{2},}

con la consecuencia de que

∫∂METRO(H(∂tú∂ν)2+2∂tú∂νΔ∂METROtú+h(∇∂METROtú,∇∂METROtú))≤∫METRO(norte−1norte(Δtú)2−Ric⁡(∇tú,∇tú)).{\displaystyle \int _{\partial M}\left(H{\Big (}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}{\Big )}^{2}+2{\frac {\partial u}{\partial \nu }}\Delta ^{\partial M}u+h{\big (}\nabla ^{\partial M}u,\nabla ^{\partial M}u{\big )}\right)\leq \int _{M}{\Big (}{\frac {n-1}{n}}(\Delta u)^{2}-\operatorname {Ric} (\nabla u,\nabla u){\Big )}.}

Esto es particularmente útil ya que ahora se puede utilizar la resolubilidad del problema de Dirichlet para el laplaciano para hacer elecciones útiles para u . [ 4 ] [ 5 ] Las aplicaciones incluyen estimaciones de valores propios en geometría espectral y el estudio de subvariedades de curvatura media constante .

Referencias

  1. ↑ Reilly 1977
  2. ^ Chow, Lu y Ni, sección A.5
  3. ↑ Colding y Minicozzi, sección 7.3
  4. ↑ Li, sección 8
  5. ↑ Schoen y Yau, sección III.8
  • Bennett Chow, Peng Lu y Lei Ni . El flujo de Ricci de Hamilton. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 77. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI; Science Press Beijing, Nueva York, 2006. xxxvi+608 págs. ISBN 978-0-8218-4231-7,0-8218-4231-5
  • Tobias Holck Colding y William P. Minicozzi II. Un curso en superficies mínimas. Estudios de Posgrado en Matemáticas, 121. Sociedad Matemática Estadounidense, Providence, RI, 2011. xii+313 págs. ISBN 978-0-8218-5323-8. doi : 10.1090/gsm/121
  • Peter Li. Análisis geométrico. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 134. Cambridge University Press, Cambridge, 2012. x+406 pp. ISBN 978-1-107-02064-1. doi : 10.1017/CBO9781139105798Icono de acceso cerrado
  • Reilly, Robert (1977). "Aplicaciones del operador hessiano en una variedad riemanniana" . Indiana University Mathematics Journal . 26 (3): 459. doi : 10.1512/iumj.1977.26.26036 . ISSN 0022-2518 . Icono de acceso gratuito
  • R. Schoen y S.-T. Yau . Lecciones de geometría diferencial. Apuntes de clase preparados por Wei Yue Ding, Kung Ching Chang, Jia Qing Zhong y Yi Chao Xu. Traducido del chino por Ding y SY Cheng. Con un prefacio traducido del chino por Kaising Tso. Actas de congresos y apuntes de clase en geometría y topología, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 pp. ISBN 1-57146-012-8
  • En memoria de Robert Cunningham Reilly