Sólido reforzado

En mecánica de sólidos , un sólido reforzado es un material frágil reforzado con barras o fibras dúctiles . Un ejemplo común es el hormigón armado . Cuando el hormigón se fisura, la fuerza de tracción en la fisura ya no la soporta el hormigón, sino únicamente las barras de acero de refuerzo. El hormigón armado seguirá soportando la carga siempre que haya suficiente refuerzo. Un problema de diseño típico consiste en encontrar la cantidad mínima de refuerzo que pueda soportar las tensiones en un cubo pequeño (Fig. 1). Esto puede formularse como un problema de optimización .

El refuerzo está dirigido en las direcciones x, y y z. La relación de refuerzo se define en una sección transversal de una barra de refuerzo como el área de refuerzo.${\displaystyle A_{r}}$sobre el área total${\displaystyle A}$, que es la zona de material frágil más la zona de refuerzo.

${\displaystyle \rho _{x}}$=${\displaystyle A_{rx}}$/${\displaystyle A_{x}}$

${\displaystyle \rho _{y}}$=${\displaystyle A_{ry}}$/${\displaystyle A_{y}}$

${\displaystyle \rho _{z}}$=${\displaystyle A_{rz}}$/${\displaystyle A_{z}}$

En el caso del hormigón armado, las proporciones de armadura suelen estar entre el 0,1% y el 2%. La tensión de fluencia de la armadura se denota por${\displaystyle f_{y}}$. El tensor de tensiones del material frágil es

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$.

Esto puede interpretarse como el tensor de tensiones del material compuesto menos las tensiones soportadas por el refuerzo en el punto de fluencia. Esta formulación es precisa para ratios de refuerzo menores al 5%. Se supone que el material frágil no tiene resistencia a la tracción. (En el caso del hormigón armado, esta suposición es necesaria porque el hormigón tiene pequeñas fisuras de retracción). Por lo tanto, las tensiones principales del material frágil deben ser de compresión. Las tensiones principales de un tensor de tensiones son sus autovalores .

El problema de optimización se formula de la siguiente manera: Minimizar${\displaystyle \rho _{x}}$+${\displaystyle \rho _{y}}$+${\displaystyle \rho _{z}}$sujeto a que todos los valores propios del tensor de tensión del material frágil sean menores o iguales a cero ( semidefinido negativo ). Se aplican restricciones adicionales.${\displaystyle \rho _{x}}$≥ 0,${\displaystyle \rho _{y}}$≥ 0,${\displaystyle \rho _{z}}$≥ 0.

La solución a este problema puede presentarse de la forma más adecuada para cálculos manuales. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Puede presentarse de forma gráfica. ^{[ 3 ]} También puede presentarse de la forma más adecuada para su implementación informática. ^{[ 4 ] [ 5 ]} En este artículo se muestra este último método.

Existen 12 posibles soluciones de refuerzo para este problema, las cuales se muestran en la tabla a continuación. Cada fila contiene una posible solución. La primera columna indica el número de la solución. La segunda columna muestra las condiciones para que una solución sea válida. Las columnas 3, 4 y 5 presentan las fórmulas para calcular las proporciones de refuerzo.

${\displaystyle I_{1}}$,${\displaystyle I_{2}}$y${\displaystyle I_{3}}$son los invariantes de tensión del tensor de tensión del material compuesto.

El algoritmo para obtener la solución correcta es simple. Calcular las relaciones de refuerzo de cada posible solución que cumpla las condiciones. Ignorar además las soluciones con una relación de refuerzo menor que cero. Calcular los valores de${\displaystyle \rho _{x}}$+${\displaystyle \rho _{y}}$+${\displaystyle \rho _{z}}$y seleccione la solución para la cual este valor sea el más pequeño. Las tensiones principales en el material frágil se pueden calcular como los valores propios del tensor de tensiones del material frágil, por ejemplo, mediante el método de Jacobi .

Las fórmulas se pueden comprobar fácilmente sustituyendo las relaciones de refuerzo en el tensor de tensiones del material frágil y calculando los invariantes. El primer invariante debe ser menor o igual que cero. El segundo invariante debe ser mayor o igual que cero. Estas condiciones se cumplen en la columna 2. Para las soluciones 2 a 12, el tercer invariante debe ser cero. ^{[ 3 ]}

La tabla siguiente muestra las relaciones de refuerzo calculadas para 10 tensores de tensión. La tensión de fluencia del refuerzo aplicado es${\displaystyle f_{y}}$= 500 N/mm². La densidad de masa de las barras de refuerzo es de 7800  kg/m³ ^. En la tabla${\displaystyle \sigma _{m}}$es la tensión calculada del material frágil.${\displaystyle m_{r}}$es la cantidad óptima de refuerzo.

En la tesis doctoral de Reinaldo Chen se pueden encontrar elaborados diagramas de contorno para vigas, una ménsula, una zapata y una viga de muñón . ^{[ 6 ]}

La solución al problema de optimización puede aproximarse de forma conservadora.

${\displaystyle \rho _{x}f_{y}}$=${\displaystyle \sigma _{xx}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{xz}|}$

${\displaystyle \rho _{y}f_{y}}$=${\displaystyle \sigma _{yy}+|\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}|}$

${\displaystyle \rho _{z}f_{y}}$=${\displaystyle \sigma _{zz}+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{yz}|}$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Para este límite superior, el polinomio característico del tensor de tensiones del material frágil es

${\displaystyle \lambda ^{3}+2(|\sigma _{yz}|+|\sigma _{xz}|+|\sigma _{xy}|)\lambda ^{2}+3(|\sigma _{xz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xy}|+|\sigma _{yz}\sigma _{xz}|)\lambda +2|\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}|-2\sigma _{yz}\sigma _{xz}\sigma _{xy}}$,

que no tiene raíces positivas , o valores propios.

Esta aproximación es fácil de recordar y puede utilizarse para comprobar o sustituir los resultados de los cálculos.

La solución anterior puede ser muy útil para diseñar refuerzos; sin embargo, presenta algunas limitaciones prácticas. Los siguientes aspectos también pueden incluirse si el problema se resuelve mediante optimización convexa :

• Múltiples tensores de tensión en un punto debido a múltiples cargas sobre la estructura, en lugar de un solo tensor de tensión.
• Una restricción impuesta a los anchos de grieta en la superficie de la estructura.
• Esfuerzo cortante en la grieta (entrelazamiento de agregados)
• Refuerzo en direcciones distintas a x, y y z
• Barras de refuerzo que ya se han colocado en el proceso de diseño del refuerzo
• Toda la estructura en lugar de un pequeño cubo de material por turno
• Grandes relaciones de refuerzo
• Refuerzo de compresión

Las barras de refuerzo pueden tener direcciones distintas a las direcciones x, y y z. En el caso de barras en una sola dirección, el tensor de tensiones del material frágil se calcula mediante

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]-\rho f_{y}\left[{\begin{matrix}\cos ^{2}(\alpha )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\cos(\gamma )\\\cos(\beta )\cos(\alpha )&\cos ^{2}(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\gamma )\cos(\alpha )&\cos(\gamma )\cos(\beta )&\cos ^{2}(\gamma )\\\end{matrix}}\right]}$

dónde${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$son los ángulos de las barras con los ejes x, y y z. Se pueden añadir barras en otras direcciones de la misma manera.

A menudo, los constructores de estructuras de hormigón armado saben, por experiencia, dónde colocar las barras de refuerzo. Las herramientas informáticas pueden ayudar a comprobar si el refuerzo propuesto es suficiente. Para ello, se utiliza el criterio de tensión.

Los valores propios de${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}-\rho _{x}f_{y}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}-\rho _{y}f_{y}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}-\rho _{z}f_{y}\\\end{matrix}}\right]}$será menor o igual que cero.

se reescribe en,

Los valores propios de${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}f_{y}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}f_{y}}}\\\end{matrix}}\right]}$será menor o igual a uno.

La última matriz es el tensor de utilización. El mayor valor propio de este tensor es la utilización (verificación de unidad), que se puede mostrar en un gráfico de contorno de una estructura para todas las combinaciones de carga relacionadas con el estado límite último .

Por ejemplo, la tensión en algún punto de una estructura es${\displaystyle \sigma _{xx}}$= 4 N/mm²,${\displaystyle \sigma _{yy}}$= -10 N/mm²,${\displaystyle \sigma _{zz}}$= 3 N/mm²,${\displaystyle \sigma _{yz}}$= 3 N/mm²,${\displaystyle \sigma _{xz}}$= -7 N/mm²,${\displaystyle \sigma _{xy}}$= 1 N/mm². La tensión de fluencia del refuerzo es${\displaystyle f_{y}}$= 500 N/mm². El refuerzo propuesto es${\displaystyle \rho _{x}}$= 1,4%,${\displaystyle \rho _{y}}$= 0,1%,${\displaystyle \rho _{z}}$= 1,9%. Los valores propios del tensor de utilización son -20,11, -0,33 y 1,32. La utilización es 1,32. Esto indica que las barras están sobrecargadas y se requiere un 32% más de refuerzo.

La verificación también se puede escribir de esta manera.

El mayor valor propio de${\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\frac {\sigma _{xx}}{\rho _{x}}}&{\frac {\sigma _{xy}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}}&{\frac {\sigma _{xz}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}}\\{\frac {\sigma _{xy}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{y}}}}&{\frac {\sigma _{yy}}{\rho _{y}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}}\\{\frac {\sigma _{xz}}{\sqrt {\rho _{x}\rho _{z}}}}&{\frac {\sigma _{yz}}{\sqrt {\rho _{y}\rho _{z}}}}&{\frac {\sigma _{zz}}{\rho _{z}}}\\\end{matrix}}\right]}$será menor que${\displaystyle f_{y}}$.

En esto,${\displaystyle f_{y}}$es la tensión de fluencia de las barras de refuerzo. La tensión calculada en las barras de refuerzo es tal que el hormigón no soporta tensión en ninguna dirección.

La falla combinada por compresión y cizallamiento del material frágil se puede comprobar aplicando el criterio de Mohr-Coulomb a los valores propios del tensor de tensiones del material frágil.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{1}}{f_{t}}}+{\frac {\sigma _{3}}{f_{c}}}}$≤ 1,

dónde${\displaystyle \sigma _{1}}$es la mayor tensión principal,${\displaystyle \sigma _{3}}$es la tensión principal más pequeña,${\displaystyle f_{c}}$es la resistencia a la compresión uniaxial (valor negativo) y${\displaystyle f_{t}}$es la resistencia a la tracción. Podemos usar la resistencia a la tracción aquí porque los grumos de hormigón que forman las diagonales de compresión no están agrietados.

Las grietas en el hormigón se pueden comprobar reemplazando la tensión de fluencia.${\displaystyle f_{y}}$en el tensor de utilización por la tensión de la barra en la que se produce el ancho máximo de fisura. (Esta tensión de la barra también depende del diámetro de la barra, la separación entre barras y el recubrimiento de la barra ). Claramente, los anchos de fisura solo necesitan verificarse en la superficie de una estructura para estados de tensión debidos a combinaciones de carga relacionadas con el estado límite de servicio .

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