Octágono alisado

El octágono suavizado es una región del plano hallada por Karl Reinhardt en 1934, quien conjeturó que posee la menor densidad de empaquetamiento máxima del plano entre todas las formas convexas con simetría central . ^{[ 1 ]} También fue descubierto independientemente por Kurt Mahler en 1947. ^{[ 2 ]} Se construye reemplazando los vértices de un octágono regular con una sección de una hipérbola tangente a los dos lados adyacentes al vértice y asintótica a los lados adyacentes a estos.

La hipérbola que forma cada vértice del octágono suavizado es tangente a dos lados de un octágono regular y asintótica a los dos adyacentes a estos. ^{[ 3 ]} Los siguientes detalles se aplican a un octágono regular de radio circunscrito${\displaystyle {\sqrt {2}}}$con su centro en el punto${\displaystyle (2+{\sqrt {2}},0)}$y un vértice en el punto${\displaystyle (2,0)}$. Para dos constantes${\displaystyle \ell ={\sqrt {2}}-1}$y${\displaystyle m=(1/2)^{1/4}}$La hipérbola viene dada por la ecuación $${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}}$$ o la parametrización equivalente (solo para la rama derecha) $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y&=m\sinh {t}\\\end{aligned}}}$$

para la porción de la hipérbola que forma la esquina, dada por el rango de valores de los parámetros. $${\displaystyle -{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}.}$$

Las líneas del octágono tangentes a la hipérbola son${\displaystyle y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)}$y las líneas asintóticas a la hipérbola son simplemente${\displaystyle y=\pm \ell x}$.

La familia de empaquetamientos de máxima densidad del octágono alisado.

Al girar los octógonos alisados, sus centros forman un triángulo de forma variable pero de área constante.

Para cada conjunto plano convexo con simetría central, incluido el octágono suavizado, la densidad de empaquetamiento máxima se logra mediante un empaquetamiento reticular , en el que las copias no rotadas de la forma se trasladan mediante los vectores de una red. ^{[ 4 ]} El octágono suavizado alcanza su densidad de empaquetamiento máxima, no solo para un único empaquetamiento, sino para una familia de 1 parámetro. Todos estos son empaquetamientos reticulares. ^{[ 5 ]} El octágono suavizado tiene una densidad de empaquetamiento máxima dada por ^{[ 2 ] [ 3 ]}$${\displaystyle {\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.}$$

Esto es menor que la densidad de empaquetamiento máxima de círculos , que es ^{[ 3 ].}$${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.}$$

La densidad de empaquetamiento máxima conocida del octágono regular ordinario es $${\displaystyle {\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,}$$ también ligeramente inferior a la densidad de empaquetamiento máxima de los círculos, pero superior a la del octágono suavizado. ^{[ 6 ]}

La conjetura de Reinhardt de que el octágono suavizado tiene la menor densidad de empaquetamiento máxima de todas las formas convexas con simetría central en el plano sigue sin resolverse. Sin embargo, Thomas Hales y Koundinya Vajjha afirmaron haber demostrado una conjetura más débil, que sostiene que el disco convexo con simetría central más difícil de empaquetar debe ser un polígono suavizado. ^{[ 7 ] [ 8 ]} Además, Fedor Nazarov proporcionó un resultado parcial al demostrar que el octágono suavizado es un mínimo local para la densidad de empaquetamiento entre las formas convexas con simetría central. ^{[ 9 ]}

Si no se requiere simetría central, se conjetura que el heptágono regular tiene una densidad de empaquetamiento aún menor, pero ni su densidad de empaquetamiento ni su optimalidad han sido demostradas. En tres dimensiones, la conjetura de empaquetamiento de Ulam afirma que ninguna forma convexa tiene una densidad de empaquetamiento máxima menor que la de la esfera. ^{[ 5 ]}

• Empaquetado de octágonos suavizados . John Baez, Visual Insight, AMS Blogs, 2014.
• ¿El empaquetamiento bidimensional más delgado y denso? Peter Scholl, 2001.