Álgebra relacional

La unión externa izquierda (⟕) se escribe como R ⟕ S donde R y S son relaciones . ^{[ b ]} El resultado de la unión externa izquierda es el conjunto de todas las combinaciones de tuplas en R y S que son iguales en sus nombres de atributos comunes, además (en términos generales) de las tuplas en R que no tienen tuplas coincidentes en S.

Como ejemplo, consideremos las tablas Employee y Dept y su unión externa izquierda:

En la relación resultante, las tuplas en S que no tienen valores comunes en los nombres de atributos comunes con las tuplas en R toman un valor nulo , ω .

Dado que no hay tuplas en Dept con un DeptName de Finance o Executive , aparecen ω en la relación resultante donde las tuplas en Employee tienen un DeptName de Finance o Executive .

Sean r ₁ , r ₂ , ..., r _n los atributos de la relación R y sea {( ω , ..., ω )} la relación unitaria sobre los atributos que son únicos de la relación S (aquellos que no son atributos de R ). Entonces, la unión externa izquierda se puede describir en términos de la unión natural (y por lo tanto usando operadores básicos) de la siguiente manera:

$${\displaystyle (R\bowtie S)\cup ((R-\pi _{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}(R\bowtie S))\times \{(\omega ,\dots ,\omega )\})}$$

La unión externa derecha (⟖) se comporta de forma casi idéntica a la unión externa izquierda, pero se intercambian los roles de las tablas.

La unión externa derecha de las relaciones R y S se escribe como R ⟖ S . ^{[ c ]} El resultado de la unión externa derecha es el conjunto de todas las combinaciones de tuplas en R y S que son iguales en sus nombres de atributos comunes, además de las tuplas en S que no tienen tuplas coincidentes en R .

Por ejemplo, consideremos las tablas Employee y Dept y su unión externa derecha:

En la relación resultante, las tuplas en R que no tienen valores comunes en los nombres de atributos comunes con las tuplas en S toman un valor nulo , ω .

Dado que no hay tuplas en Employee con un DeptName de Production , aparecen ω en los atributos Name y EmpId de la relación resultante donde las tuplas en Dept tenían DeptName de Production .

Sean s ₁ , s ₂ , ..., s _n los atributos de la relación S y sea {( ω , ..., ω )} la relación unitaria sobre los atributos que son únicos de la relación R (aquellos que no son atributos de S ). Entonces, al igual que con la unión externa izquierda, la unión externa derecha se puede simular utilizando la unión natural de la siguiente manera:

$${\displaystyle (R\bowtie S)\cup (\{(\omega ,\dots ,\omega )\}\times (S-\pi _{s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}}(R\bowtie S)))}$$

La unión externa (⟗) o unión externa completa combina, en efecto, los resultados de las uniones externas izquierda y derecha.

La unión externa completa se escribe como R ⟗ S donde R y S son relaciones . ^{[ d ]} El resultado de la unión externa completa es el conjunto de todas las combinaciones de tuplas en R y S que son iguales en sus nombres de atributos comunes, además de las tuplas en S que no tienen tuplas coincidentes en R y las tuplas en R que no tienen tuplas coincidentes en S en sus nombres de atributos comunes.

Como ejemplo, consideremos las tablas Employee y Dept y su unión externa completa:

En la relación resultante, las tuplas en R que no tienen valores comunes en los nombres de atributos comunes con las tuplas en S toman un valor nulo , ω . Las tuplas en S que no tienen valores comunes en los nombres de atributos comunes con las tuplas en R también toman un valor nulo , ω .

La unión externa completa se puede simular utilizando las uniones externas izquierda y derecha (y por lo tanto la unión natural y la unión de conjuntos) de la siguiente manera:

R ⟗ S = ( R ⟕ S ) ∪ ( R ⟖ S )

Además, calcular diversas funciones sobre una columna, como la suma de sus elementos, tampoco es posible utilizando el álgebra relacional introducida hasta ahora. La mayoría de los sistemas de bases de datos relacionales incluyen cinco funciones de agregación : Suma, Conteo, Promedio, Máximo y Mínimo. En álgebra relacional _, la operación de agregación sobre un esquema ( _{A₁, A₂, ..., An} ) se escribe de _la siguiente manera:

${\displaystyle G_{1},G_{2},\ldots ,G_{m}\ g_{f_{1}({A_{1}}'),f_{2}({A_{2}}'),\ldots ,f_{k}({A_{k}}')}\ (r)}$

donde cada A _j ′ , 1 ≤ j ≤ k , es uno de los atributos originales A _i , 1 ≤ i ≤ n .

Los atributos que preceden a la "g" son atributos de agrupación, que funcionan como una cláusula "group by" en SQL. A continuación, se aplican varias funciones de agregación a cada atributo. La operación se aplica a una relación arbitraria r . Los atributos de agrupación son opcionales; si no se proporcionan, las funciones de agregación se aplican a toda la relación a la que se aplica la operación.

Supongamos que tenemos una tabla llamada Cuenta con tres columnas: Número_de_Cuenta, Nombre_de_Sucursal y Saldo . Queremos encontrar el saldo máximo de cada sucursal. Esto se logra con _{Nombre_de_Sucursal} G _{Max( Saldo )} ( Cuenta ). Para encontrar el saldo más alto de todas las cuentas, independientemente de la sucursal, podríamos simplemente escribir G _{Max( Saldo )} ( Cuenta ).

La agrupación a menudo se escribe como _{Branch_Name} ɣ _{Max( Balance )} ( Account ) en su lugar. ^{[ 8 ]}

La selección es idempotente (las múltiples aplicaciones de la misma selección no tienen ningún efecto adicional más allá de la primera) y conmutativa (el orden en que se aplican las selecciones no afecta al resultado final).

1. ${\displaystyle \sigma _{A}(R)=\sigma _{A}\sigma _{A}(R)\,\!}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A}\sigma _{B}(R)=\sigma _{B}\sigma _{A}(R)\,\!}$

Una selección cuya condición es una conjunción de condiciones más simples equivale a una secuencia de selecciones con esas mismas condiciones individuales, y una selección cuya condición es una disyunción equivale a una unión de selecciones. Estas identidades pueden utilizarse para fusionar selecciones, de modo que sea necesario evaluar menos selecciones, o para dividirlas, de manera que las selecciones componentes puedan moverse u optimizarse por separado.

1. ${\displaystyle \sigma _{A\land B}(R)=\sigma _{A}(\sigma _{B}(R))=\sigma _{B}(\sigma _{A}(R))}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A\lor B}(R)=\sigma _{A}(R)\cup \sigma _{B}(R)}$

El producto cruzado es el operador más costoso de evaluar. Si las relaciones de entrada tienen N y M filas, el resultado contendrá${\displaystyle NM}$filas. Por lo tanto, es importante disminuir el tamaño de ambos operandos antes de aplicar el operador de producto cruzado.

Esto se puede hacer eficazmente si al producto cartesiano le sigue un operador de selección, por ejemplo${\displaystyle \sigma _{A}(R\times P)}$Considerando la definición de unión, este es el caso más probable. Si el producto cartesiano no va seguido de un operador de selección, podemos intentar introducir una selección desde niveles superiores del árbol de expresiones utilizando las demás reglas de selección.

En el caso anterior, la condición A se divide en las condiciones B , C y D utilizando las reglas de división sobre condiciones de selección complejas, de modo que${\displaystyle A=B\wedge C\wedge D}$y B contiene atributos solo de R , C contiene atributos solo de P , y D contiene la parte de A que contiene atributos tanto de R como de P. Nótese que B , C o D pueden estar vacíos. Entonces se cumple lo siguiente:

${\displaystyle \sigma _{A}(R\times P)=\sigma _{B\wedge C\wedge D}(R\times P)=\sigma _{D}(\sigma _{B}(R)\times \sigma _{C}(P))}$

La selección es distributiva sobre los operadores de diferencia, intersección y unión de conjuntos. Las siguientes tres reglas se utilizan para relegar la selección a un segundo plano en el árbol de expresiones. Para los operadores de diferencia e intersección de conjuntos, es posible aplicar el operador de selección a solo uno de los operandos tras la transformación. Esto puede resultar beneficioso cuando uno de los operandos es pequeño y la sobrecarga de evaluar el operador de selección supera las ventajas de usar una relación más pequeña como operando.

1. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\setminus P)=\sigma _{A}(R)\setminus \sigma _{A}(P)=\sigma _{A}(R)\setminus P}$
2. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\cup P)=\sigma _{A}(R)\cup \sigma _{A}(P)}$
3. ${\displaystyle \sigma _{A}(R\cap P)=\sigma _{A}(R)\cap \sigma _{A}(P)=\sigma _{A}(R)\cap P=R\cap \sigma _{A}(P)}$

La selección conmuta con la proyección si y solo si los campos a los que se hace referencia en la condición de selección son un subconjunto de los campos de la proyección. Realizar la selección antes de la proyección puede ser útil si el operando es un producto cartesiano o una unión. En otros casos, si la condición de selección es relativamente costosa de calcular, trasladar la selección fuera de la proyección puede reducir el número de tuplas que deben evaluarse (ya que la proyección puede generar menos tuplas debido a la eliminación de duplicados resultantes de campos omitidos).

$${\displaystyle \pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(\sigma _{A}(R))=\sigma _{A}(\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R))\,\,{\text{if}}\,A\subseteq \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$$

La proyección es idempotente, de modo que una serie de proyecciones (válidas) es equivalente a la proyección más externa.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(\pi _{b_{1},\ldots ,b_{m}}(R))=\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)\\[4pt]&\,\,\,{\text{where}}\,\,\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}\subseteq \{b_{1},\ldots ,b_{m}\}\end{aligned}}}$$

La proyección es distributiva sobre la unión de conjuntos.

$${\displaystyle \pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R\cup P)=\pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)\cup \pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(P).\,}$$

La proyección no se distribuye sobre la intersección ni sobre la diferencia de conjuntos. Los contraejemplos se dan a continuación:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \}\cap \{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\emptyset \\\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \})\cap \pi _{A}(\{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\{\langle A=a\rangle \}\end{aligned}}}$$

y

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \}\setminus \{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\{\langle A=a\rangle \}\\\pi _{A}(\{\langle A=a,B=b\rangle \})\setminus \pi _{A}(\{\langle A=a,B=b'\rangle \})&=\emptyset \end{aligned}}}$$

donde se supone que b es distinto de b' .

Los cambios de nombre sucesivos de una variable pueden combinarse en un único cambio de nombre. Las operaciones de cambio de nombre que no tienen variables en común pueden reordenarse arbitrariamente entre sí, lo que puede aprovecharse para que los cambios de nombre sucesivos sean adyacentes y puedan combinarse.

1. ${\displaystyle \rho _{a/b}(\rho _{b/c}(R))=\rho _{a/c}(R)\,\!}$
2. ${\displaystyle \rho _{a/b}(\rho _{c/d}(R))=\rho _{c/d}(\rho _{a/b}(R))\,\!}$

El cambio de nombre es distributivo sobre la diferencia, la unión y la intersección de conjuntos.

1. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\setminus P)=\rho _{a/b}(R)\setminus \rho _{a/b}(P)}$
2. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\cup P)=\rho _{a/b}(R)\cup \rho _{a/b}(P)}$
3. ${\displaystyle \rho _{a/b}(R\cap P)=\rho _{a/b}(R)\cap \rho _{a/b}(P)}$