Subespacio relativamente compacto

En matemáticas , un subespacio relativamente compacto (o subconjunto relativamente compacto , o subconjunto precompacto ) Y de un espacio topológico X es un subconjunto cuya clausura es compacta .

Todo subconjunto de un espacio topológico compacto es relativamente compacto (ya que un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto). En un espacio topológico arbitrario, todo subconjunto de un conjunto relativamente compacto es relativamente compacto.

Todo subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es relativamente compacto. En un espacio que no es de Hausdorff, como la topología de un punto específico en un conjunto infinito, la clausura de un subconjunto compacto no es necesariamente compacta; dicho de otro modo, un subconjunto compacto de un espacio que no es de Hausdorff no es necesariamente relativamente compacto.

Todo subconjunto compacto de un espacio vectorial topológico (posiblemente no de Hausdorff) es completo y relativamente compacto.

En el caso de una topología métrica , o más generalmente cuando se pueden usar secuencias para probar la compacidad, el criterio de compacidad relativa se convierte en que cualquier secuencia en Y tenga una subsecuencia convergente en X.

Algunos teoremas importantes caracterizan subconjuntos relativamente compactos, en particular en espacios de funciones . Un ejemplo es el teorema de Arzelà-Ascoli . Otros casos de interés se relacionan con la integrabilidad uniforme y el concepto de familia normal en análisis complejo . El teorema de compacidad de Mahler en la geometría de los números caracteriza subconjuntos relativamente compactos en ciertos espacios homogéneos no compactos (específicamente espacios de retículos ).

Como contraejemplo, tomemos cualquier entorno finito de un punto particular de un espacio de puntos particulares infinito . El entorno en sí es compacto, pero no es relativamente compacto porque su clausura es todo el espacio no compacto.

La definición de una función casi periódica F a nivel conceptual tiene que ver con que las traslaciones de F sean un conjunto relativamente compacto. Esto debe precisarse en términos de la topología utilizada en una teoría particular.

• Integrado de forma compacta
• Espacio totalmente delimitado

• Página 12 de V. Khatskevich, D. Shoikhet, Operadores diferenciables y ecuaciones no lineales , Birkhäuser Verlag AG, Basilea, 1993, 270 págs. en Google Books