Efecto Doppler relativista

El desplazamiento Doppler relativista para el caso longitudinal, con la fuente y el receptor moviéndose directamente uno hacia el otro o alejándose entre sí, se suele derivar como si fuera el fenómeno clásico, pero modificado por la adición de un término de dilatación del tiempo . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Este es el enfoque empleado en los libros de texto de física o mecánica de primer año, como los de Feynman ^{[ 5 ]} o Morin. ^{[ 6 ]}

Siguiendo este enfoque para derivar el efecto Doppler longitudinal relativista, supongamos que el receptor y la fuente se alejan uno del otro con una velocidad relativa${\displaystyle v\,}$según lo medido por un observador en el receptor o la fuente (La convención de signos adoptada aquí es que${\displaystyle v\,}$es negativo si el receptor y la fuente se mueven uno hacia el otro).

Consideremos el problema en el marco de referencia de la fuente.

Supongamos que un frente de onda llega al receptor. El siguiente frente de onda está entonces a una distancia${\displaystyle \lambda _{s}=c/f_{s}\,}$lejos del receptor (donde${\displaystyle \lambda _{s}\,}$es la longitud de onda ,${\displaystyle f_{s}\,}$es la frecuencia de las ondas que emite la fuente, y${\displaystyle c\,}$es la velocidad de la luz ).

El frente de onda se mueve con velocidad${\displaystyle c\,}$pero al mismo tiempo el receptor se aleja con velocidad${\displaystyle v}$durante un tiempo${\displaystyle t_{r,s}}$, que es el período de las ondas de luz que inciden en el receptor, tal como se observa en el sistema de referencia de la fuente. Por lo tanto,$${\displaystyle \lambda _{s}+vt_{r,s}=ct_{r,s}\Longleftrightarrow \lambda _{s}=ct_{r,s}(1-v/c)\Longleftrightarrow t_{r,s}={\frac {1}{f_{s}(1-\beta )}},}$$dónde${\displaystyle \beta =v/c\,}$es la velocidad del receptor en términos de la velocidad de la luz. El correspondiente${\displaystyle f_{r,s}}$, la frecuencia a la que los frentes de onda inciden en el receptor en el sistema de referencia de la fuente, es:$${\displaystyle f_{r,s}=1/t_{r,s}=f_{s}(1-\beta ).}$$

Hasta ahora, las ecuaciones han sido idénticas a las del efecto Doppler clásico con una fuente estacionaria y un receptor en movimiento.

Sin embargo, debido a los efectos relativistas, los relojes del receptor experimentan una dilatación temporal en relación con los relojes de la fuente:${\displaystyle t_{r}=t_{r,s}/\gamma }$, dónde${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$es el factor de Lorentz . Para saber qué tiempo se dilata, recordemos que${\displaystyle t_{r,s}}$es el tiempo en el marco en el que la fuente está en reposo. El receptor medirá la frecuencia recibida para que sea

La proporción $${\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}$$ Se denomina factor Doppler de la fuente con respecto al receptor. (Esta terminología es particularmente frecuente en astrofísica : véase emisión relativista ).

Las longitudes de onda correspondientes están relacionadas por

Se obtienen expresiones idénticas para el desplazamiento Doppler relativista al realizar el análisis en el sistema de referencia del receptor con una fuente en movimiento. Esto coincide con las expectativas del principio de relatividad , que dicta que el resultado no puede depender de qué objeto se considere en reposo. En cambio, el efecto Doppler clásico no relativista depende de si la fuente o el receptor se encuentra estacionario con respecto al medio. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Supongamos que una fuente y un receptor se aproximan entre sí con movimiento inercial uniforme a lo largo de trayectorias que no colisionan. El efecto Doppler transversal (EDT) puede referirse a (a) el desplazamiento al azul nominal predicho por la relatividad especial que ocurre cuando el emisor y el receptor están en sus puntos de máxima aproximación; o (b) el desplazamiento al rojo nominal predicho por la relatividad especial cuando el receptor ve al emisor en su punto de máxima aproximación. ^{[ 6 ]} El efecto Doppler transversal es una de las principales predicciones novedosas de la teoría especial de la relatividad. ^{[ 7 ]}

Que un informe científico describa el efecto Doppler de marea (TDE) como un corrimiento al rojo o al azul depende de las particularidades del montaje experimental en cuestión. Por ejemplo, la descripción original del TDE que hizo Einstein en 1907 describía a un experimentador observando el centro (punto más cercano) de un haz de " rayos de canal " (un haz de iones positivos creado por ciertos tipos de tubos de descarga de gas). Según la relatividad especial, la frecuencia emitida por los iones en movimiento se reduciría por el factor de Lorentz, de modo que la frecuencia recibida se reduciría (correría al rojo) por el mismo factor. ^{[ p 1 ] [ nota 1 ]}

Por otro lado, Kündig (1963) describió un experimento en el que un absorbedor Mössbauer giraba en una trayectoria circular rápida alrededor de un emisor Mössbauer central. ^{[ p 3 ]} Como se explica más adelante, esta configuración experimental dio como resultado la medición de un desplazamiento al azul por parte de Kündig.

La fuente y el receptor se encuentran en sus puntos de mayor aproximación.

En este escenario, el punto de máxima aproximación es independiente del sistema de referencia y representa el momento en que no hay variación en la distancia con respecto al tiempo. La Figura 2 demuestra que la facilidad de análisis de este escenario depende del sistema de referencia en el que se analiza. ^{[ 6 ]}

• Figura 2a. Si analizamos el escenario desde la perspectiva del receptor, observamos que el análisis es más complejo de lo que debería ser. La posición aparente de un objeto celeste se desvía de su posición real (o geométrica) debido a su movimiento durante el tiempo que tarda su luz en llegar a un observador. La fuente experimentaría una dilatación temporal con respecto al receptor, pero el corrimiento al rojo implícito en esta dilatación se vería compensado por un corrimiento al azul debido a la componente longitudinal del movimiento relativo entre el receptor y la posición aparente de la fuente.
• Figura 2b. Es mucho más fácil si, en cambio, analizamos el escenario desde el marco de la fuente. Un observador situado en la fuente sabe, por el enunciado del problema, que el receptor está en su punto más cercano a él. Eso significa que el receptor no tiene un componente longitudinal de movimiento que complique el análisis. (es decir, dr/dt = 0 donde r es la distancia entre el receptor y la fuente) Dado que los relojes del receptor están dilatados en el tiempo con respecto a la fuente, la luz que recibe el receptor está desplazada hacia el azul por un factor de gamma. En otras palabras,

El receptor ve la fuente como si estuviera en su punto más cercano.

Este escenario es equivalente a que el receptor observe en ángulo recto directo con respecto a la trayectoria de la fuente. El análisis de este escenario se realiza mejor desde el sistema de referencia del receptor. La figura  3 muestra al receptor iluminado por la luz proveniente del momento en que la fuente estaba más cerca del receptor, aunque la fuente se haya movido. ^{[ 6 ]} Debido a que el reloj de la fuente está dilatado en el tiempo, medido en el sistema de referencia del receptor, y debido a que no hay un componente longitudinal en su movimiento, la luz de la fuente, emitida desde este punto más cercano, se desplaza hacia el rojo con la frecuencia

En la literatura, la mayoría de los informes sobre el desplazamiento Doppler transversal analizan el efecto considerando que el receptor apunta perpendicularmente a la trayectoria de la fuente, de modo que la fuente se encuentra en su punto más cercano y se observa un desplazamiento al rojo.

Punto de desplazamiento de frecuencia nula

Dado que, cuando la fuente y el receptor, ambos en movimiento inercial, se encuentran geométricamente en su punto más cercano, el receptor observa un desplazamiento al azul, mientras que cuando la fuente se encuentra en su punto más cercano, observa un desplazamiento al rojo, es evidente que debe existir un punto donde el desplazamiento al azul se transforma en un desplazamiento al rojo. En la Figura 2, la señal viaja perpendicularmente a la trayectoria del receptor y experimenta un desplazamiento al azul. En la Figura 3, la señal viaja perpendicularmente a la trayectoria de la fuente y experimenta un desplazamiento al rojo.

Como se observa en la Figura 4, se produce un desplazamiento de frecuencia nula para un pulso que recorre la distancia más corta entre la fuente y el receptor. Cuando se observa en el sistema de referencia donde la fuente y el receptor tienen la misma velocidad, este pulso se emite perpendicularmente a la trayectoria de la fuente y se recibe perpendicularmente a la trayectoria del receptor. El pulso se emite ligeramente antes del punto de máxima aproximación y se recibe ligeramente después. ^{[ 8 ]}

Un objeto en movimiento circular alrededor del otro

La Figura 5 ilustra dos variantes de este escenario. Ambas variantes pueden analizarse utilizando argumentos simples de dilatación del tiempo. ^{[ 6 ]} La Figura 5a es esencialmente equivalente al escenario descrito en la Figura  2b, y el receptor observa que la luz de la fuente está desplazada hacia el azul por un factor de${\displaystyle \gamma }$La figura 5b es esencialmente equivalente al escenario descrito en la figura 3, y la luz está desplazada hacia el rojo.

La única complicación aparente es que los objetos en órbita se encuentran en movimiento acelerado. Una partícula acelerada no posee un sistema de referencia inercial en el que permanezca siempre en reposo. Sin embargo, siempre se puede encontrar un sistema de referencia inercial que se mueva momentáneamente con la partícula. Este sistema, denominado sistema de referencia momentáneamente comóvil (MCRF) , permite aplicar la relatividad especial al análisis de partículas aceleradas. Si un observador inercial observa un reloj acelerado, solo la velocidad instantánea del reloj es relevante al calcular la dilatación del tiempo. ^{[ 9 ]}

Sin embargo, lo contrario no es cierto. El análisis de escenarios donde ambos objetos se encuentran en movimiento acelerado requiere un análisis algo más sofisticado. No comprender este punto ha generado confusión y malentendidos.

La fuente y el receptor se mueven circularmente alrededor de un centro común.

Supongamos que la fuente y el receptor están ubicados en los extremos opuestos de un rotor giratorio, como se ilustra en la Figura 6. Los argumentos cinemáticos (relatividad especial) y los argumentos basados ​​en observar que no hay diferencia de potencial entre la fuente y el receptor en el campo pseudogravitacional del rotor (relatividad general) llevan a la conclusión de que no debería haber desplazamiento Doppler entre la fuente y el receptor.

En 1961, Champeney y Moon llevaron a cabo un experimento de rotor Mössbauer para probar precisamente este escenario, y descubrieron que el proceso de absorción Mössbauer no se veía afectado por la rotación. ^{[ p 4 ]} Concluyeron que sus hallazgos respaldaban la relatividad especial.

Esta conclusión generó cierta controversia. Un crítico persistente de la relatividad sostuvo que, si bien el experimento era consistente con la relatividad general, refutaba la relatividad especial, argumentando que, dado que el emisor y el absorbedor se encontraban en movimiento relativo uniforme, la relatividad especial exigía la observación de un desplazamiento Doppler. La falacia de este argumento radicaba, como se demuestra en la sección « Punto de desplazamiento de frecuencia nulo» , en que simplemente no es cierto que siempre deba observarse un desplazamiento Doppler entre dos sistemas de referencia en movimiento relativo uniforme. ^{[ 10 ]} Además, como se demuestra en la sección «La fuente y el receptor están en sus puntos de máxima aproximación» , la dificultad de analizar un escenario relativista a menudo depende de la elección del sistema de referencia. Intentar analizar el escenario en el sistema de referencia del receptor implica un álgebra muy tediosa. Es mucho más fácil, casi trivial, establecer la ausencia de desplazamiento Doppler entre el emisor y el absorbedor en el sistema de referencia del laboratorio. ^{[ 10 ]}

De hecho, sin embargo, el experimento de Champeney y Moon no arrojó ningún resultado a favor ni en contra de la relatividad especial. Debido a la simetría del montaje, resulta que prácticamente cualquier teoría concebible del desplazamiento Doppler entre sistemas de referencia en movimiento inercial uniforme debe dar un resultado nulo en este experimento. ^{[ 10 ]}

En lugar de estar equidistantes del centro, supongamos que el emisor y el absorbedor estuvieran a distancias diferentes del centro del rotor. Para un emisor a radio${\displaystyle R'}$y el absorbedor en radio${\displaystyle R}$en cualquier punto del rotor, la relación de la frecuencia del emisor,${\displaystyle f',}$y la frecuencia del absorbedor,${\displaystyle f,}$es dado por

dónde${\displaystyle \omega }$es la velocidad angular del rotor. La fuente y el emisor no tienen que estar separados 180°, sino que pueden estar en cualquier ángulo con respecto al centro. ^{[ p 5 ] [ 11 ]}

El análisis utilizado en la sección Efecto Doppler longitudinal relativista puede extenderse de manera directa para calcular el desplazamiento Doppler para el caso en que los movimientos inerciales de la fuente y el receptor estén en cualquier ángulo especificado. ^{[ 4 ] [ 12 ]} La figura 7 presenta el escenario desde el marco del receptor, con la fuente moviéndose a velocidad${\displaystyle v}$al bies${\displaystyle \theta _{r}}$medido en el marco del receptor. La componente radial del movimiento de la fuente a lo largo de la línea de visión es igual a${\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}$

La ecuación que se muestra a continuación puede interpretarse como el desplazamiento Doppler clásico para una fuente estacionaria y en movimiento, modificado por el factor de Lorentz.${\displaystyle \gamma$ :}

En el caso de que${\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ }}$, se obtiene el efecto Doppler transversal : $${\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.}$$

En su artículo de 1905 sobre la relatividad especial, ^{[ p. 2 ]} Einstein obtuvo una ecuación de aspecto algo diferente para la ecuación del desplazamiento Doppler. Después de cambiar los nombres de las variables en la ecuación de Einstein para que sean consistentes con los utilizados aquí, su ecuación queda así:

Las diferencias se deben a que Einstein evaluó el ángulo${\displaystyle \theta _{s}}$con respecto al marco de reposo de la fuente en lugar del marco de reposo del receptor.${\displaystyle \theta _{s}}$no es igual a${\displaystyle \theta _{r}}$Debido al efecto de la aberración relativista . La ecuación de la aberración relativista es:

Sustituyendo la ecuación de aberración relativista ( Ecuación  8) en la ecuación  6 se obtiene la ecuación  7 , lo que demuestra la consistencia de estas ecuaciones alternativas para el desplazamiento Doppler. ^{[ 12 ]}

Configuración${\displaystyle \theta _{r}=0}$en la ecuación  6 o${\displaystyle \theta _{s}=0}$En la ecuación  7 se obtiene la ecuación  1 , la expresión para el desplazamiento Doppler longitudinal relativista.

Un enfoque de cuatro vectores para derivar estos resultados se puede encontrar en Landau y Lifshitz (2005). ^{[ 13 ]}

En las ondas electromagnéticas, tanto las amplitudes del campo eléctrico como del campo magnético E y B se transforman de manera similar a la frecuencia: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}E_{r}&=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)E_{s}\\B_{r}&=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)B_{s}.\end{aligned}}}$$

Einstein (1907) sugirió inicialmente que la TDE podría medirse observando un haz de " rayos de canal " perpendiculares al haz. ^{[ p 1 ]} Los intentos de medir la TDE siguiendo este esquema resultaron poco prácticos, ya que la velocidad máxima de un haz de partículas disponible en ese momento era solo unas pocas milésimas de la velocidad de la luz.

La figura  9 muestra los resultados del intento de medir la línea de 4861 Angstrom emitida por un haz de rayos de canal (una mezcla de iones H1+, H2+ y H3+) al recombinarse con electrones extraídos del gas hidrógeno diluido utilizado para llenar el tubo de rayos de canal. En este caso, el resultado previsto del efecto Doppler de transición (TDE) es una línea de 4861,06 Angstrom. A la izquierda, el desplazamiento Doppler longitudinal produce un ensanchamiento de la línea de emisión tal que el TDE no puede observarse. Las figuras centrales ilustran que, incluso si se reduce el campo de visión al centro exacto del haz, desviaciones muy pequeñas del haz respecto a un ángulo recto exacto introducen desplazamientos comparables al efecto previsto.

En lugar de intentar medir directamente el efecto de discontinuidad de marea (TDE), Ives y Stilwell (1938) utilizaron un espejo cóncavo que les permitió observar simultáneamente un haz directo casi longitudinal (azul) y su imagen reflejada (rojo). Espectroscópicamente, se observarían tres líneas: una línea de emisión sin desplazamiento y líneas con desplazamiento al azul y al rojo. El promedio de las líneas con desplazamiento al rojo y al azul se compararía con la longitud de onda de la línea de emisión sin desplazamiento. La diferencia que midieron Ives y Stilwell correspondió, dentro de los límites experimentales, al efecto predicho por la relatividad especial. ^{[ p 7 ]}

Varias de las repeticiones posteriores del experimento de Ives y Stilwell han adoptado otras estrategias para medir la media de las emisiones de haces de partículas con desplazamiento al azul y al rojo. En algunas repeticiones recientes del experimento, se ha utilizado tecnología moderna de aceleradores para organizar la observación de dos haces de partículas que giran en sentido contrario. En otras repeticiones, se han medido las energías de los rayos gamma emitidos por un haz de partículas que se mueve rápidamente en ángulos opuestos con respecto a la dirección del haz. Dado que estos experimentos no miden realmente la longitud de onda del haz de partículas en ángulo recto con respecto al haz, algunos autores han preferido referirse al efecto que miden como el "desplazamiento Doppler cuadrático" en lugar de TDE. ^{[ p 8 ] [ p 9 ]}

El advenimiento de la tecnología de aceleradores de partículas ha posibilitado la producción de haces de partículas con una energía considerablemente mayor que la que tenían Ives y Stilwell. Esto ha permitido diseñar pruebas del efecto Doppler transversal siguiendo directamente el modelo original de Einstein, es decir, observando directamente un haz de partículas a un ángulo de 90°. Por ejemplo, Hasselkamp et al. (1979) observaron la línea Hα emitida por átomos de hidrógeno que se movían a velocidades comprendidas entre 2,53 × 10⁸ ^cm  /s y 9,28 × 10⁸ ^cm  /s, hallando que el coeficiente del término de segundo orden en la aproximación relativista era de 0,52 ± 0,03, en excelente concordancia con el valor teórico de 1/2. ^{[ p. 10 ]}

Otras pruebas directas del TDE en plataformas giratorias fueron posibles gracias al descubrimiento del efecto Mössbauer , que permite la producción de líneas de resonancia extremadamente estrechas para la emisión y absorción de rayos gamma nucleares. ^{[ 19 ]} Los experimentos del efecto Mössbauer han demostrado ser fácilmente capaces de detectar TDE utilizando velocidades relativas emisor-absorbedor del orden de 2×10 ⁴  cm/s. Estos experimentos incluyen los realizados por Hay et al. (1960), ^{[ p 11 ]} Champeney et al. (1965), ^{[ p 12 ]} y Kündig (1963). ^{[ p 3 ]}

El efecto Doppler transversal y la dilatación temporal cinemática de la relatividad especial están estrechamente relacionados. Todas las validaciones del EDT representan validaciones de la dilatación temporal cinemática, y la mayoría de las validaciones de la dilatación temporal cinemática también han representado validaciones del EDT. Un recurso en línea, "¿Cuál es la base experimental de la relatividad especial?", ha documentado, con breves comentarios, muchas de las pruebas que, a lo largo de los años, se han utilizado para validar diversos aspectos de la relatividad especial. ^{[ 20 ]} Kaivola et al. (1985) ^{[ p 13 ]} y McGowan et al. (1993) ^{[ p 14 ]} son ​​ejemplos de experimentos clasificados en este recurso como experimentos de dilatación temporal. Estos dos también representan pruebas del EDT. Estos experimentos compararon la frecuencia de dos láseres, uno bloqueado a la frecuencia de una transición de átomo de neón en un haz rápido, el otro bloqueado a la misma transición en neón térmico. La versión de 1993 del experimento verificó la dilatación del tiempo y, por lo tanto, el TDE, con una precisión de 2,3×10 ⁻⁶ .