escalar de Lorentz

En la relatividad especial, la ubicación de una partícula en el espaciotiempo de 4 dimensiones viene dada por $${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )}$$ dónde${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {v} t}$es la posición en el espacio tridimensional de la partícula con respecto a un evento de referencia,${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad en el espacio tridimensional y${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz .

La "longitud" del vector es un escalar de Lorentz y viene dada por $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2},}$$ dónde${\displaystyle \tau }$es el tiempo propio medido por un reloj en el sistema de referencia en reposo de la partícula y la métrica de Minkowski viene dada por $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.}$$ Esta es una métrica de tipo temporal.

A menudo, la métrica de Minkowski se presenta en un formulario en el que el signo general está invertido. $${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$$ Esta es una métrica de tipo espacial.

En la métrica de Minkowski el intervalo de tipo espacial${\displaystyle s}$se define como $${\displaystyle x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.}$$

En el resto de este artículo, utilizaremos la métrica de Minkowski de tipo espacial.

La velocidad en el espacio-tiempo se define como $${\displaystyle v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right),}$$ dónde $${\displaystyle \gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.}$$

La magnitud de la cuadrivelocidad es un escalar de Lorentz, $${\displaystyle v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.}$$

Por lo tanto,${\displaystyle c}$es un escalar de Lorentz.

La aceleración 4 viene dada por $${\displaystyle a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.}$$

La cuadriaceleración siempre es perpendicular a la cuadrivelocidad. $${\displaystyle 0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.}$$

Por lo tanto, podemos considerar la aceleración en el espacio-tiempo simplemente como una rotación de la cuadrivelocidad. El producto escalar de la aceleración y la velocidad es un escalar de Lorentz y es cero. Esta rotación es simplemente una expresión de la conservación de la energía: $${\displaystyle {dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }$$ dónde${\displaystyle E}$es la energía de una partícula y${\displaystyle \mathbf {F} }$es la fuerza 3 sobre la partícula.

Consideremos una segunda partícula con 4-velocidad${\displaystyle u}$y una de 3 velocidades${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$. En el sistema de referencia en reposo de la segunda partícula, el producto interno de${\displaystyle u}$con${\displaystyle p}$es proporcional a la energía de la primera partícula $${\displaystyle p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}}$$ donde el subíndice 1 indica la primera partícula.

Dado que la relación es válida en el sistema de referencia en reposo de la segunda partícula, es válida en cualquier sistema de referencia.${\displaystyle E_{1}}$, la energía de la primera partícula en el marco de la segunda partícula, es un escalar de Lorentz. Por lo tanto, $${\displaystyle E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}}$$ en cualquier marco de referencia inercial, donde${\displaystyle E_{1}}$sigue siendo la energía de la primera partícula en el sistema de referencia de la segunda partícula.

En el sistema de referencia en reposo de la partícula, el producto interno del momento es $${\displaystyle p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.}$$

Por lo tanto, la masa en reposo ( m ) es un escalar de Lorentz. La relación se mantiene válida independientemente del sistema de referencia en el que se calcula el producto interno. En muchos casos, la masa en reposo se escribe como${\displaystyle m_{0}}$para evitar confusiones con la masa relativista, que es${\displaystyle \gamma m_{0}}$.

Tenga en cuenta que $${\displaystyle \left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.}$$

El cuadrado de la magnitud del momento tridimensional de la partícula, medida en el sistema de referencia de la segunda partícula, es un escalar de Lorentz.

La velocidad 3, en el marco de la segunda partícula, se puede construir a partir de dos escalares de Lorentz. $${\displaystyle v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.}$$