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Relatividad de la simultaneidad

Figura 1. En las naves espaciales, los relojes de los mapas pueden parecer desincronizados. Figura 2. El evento B es simultáneo con A en el marco de referencia verde, pero ocurr...

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Figura 1. En las naves espaciales, los relojes de los mapas pueden parecer desincronizados.
Figura 2. El evento B es simultáneo con A en el marco de referencia verde, pero ocurrió antes en el marco azul y ocurrirá más tarde en el marco rojo.
Figura 3. Los eventos A, B y C ocurren en diferente orden según el movimiento del observador. La línea blanca representa un plano de simultaneidad que se desplaza del pasado al futuro.

En física , la relatividad de la simultaneidad es el concepto de que la simultaneidad a distancia —es decir, que dos eventos espacialmente separados ocurran al mismo tiempo— no es absoluta , sino que depende del sistema de referencia del observador . Esta posibilidad fue planteada por el matemático Henri Poincaré en 1900 y, posteriormente, se convirtió en una idea central de la teoría especial de la relatividad .  

Según la teoría especial de la relatividad introducida por Albert Einstein , es imposible afirmar con absoluta certeza que dos eventos distintos ocurren simultáneamente si están separados en el espacio. Si un sistema de referencia asigna exactamente el mismo tiempo a dos eventos que se encuentran en puntos diferentes del espacio, un sistema de referencia que se mueve con respecto al primero generalmente asignará tiempos diferentes a ambos eventos (la única excepción es cuando el movimiento es exactamente perpendicular a la línea que conecta las ubicaciones de ambos eventos).

La relatividad de la simultaneidad es el fundamento conceptual del que se derivan la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud .

Historia

En 1892 y 1895, Hendrik Lorentz utilizó un método matemático llamado "tiempo local" t ′ = t − v x / c 2 para explicar los experimentos de deriva negativa del éter . [ 1 ] Sin embargo, Lorentz no dio ninguna explicación física de este efecto. Esto lo hizo Henri Poincaré, quien ya en 1898 enfatizó la naturaleza convencional de la simultaneidad y argumentó que es conveniente postular la constancia de la velocidad de la luz en todas las direcciones. Sin embargo, este artículo no contenía ninguna discusión de la teoría de Lorentz ni de la posible diferencia en la definición de simultaneidad para observadores en diferentes estados de movimiento. [ 2 ] [ 3 ] Esto se hizo en 1900, cuando Poincaré derivó el tiempo local asumiendo que la velocidad de la luz es invariante dentro del éter. Debido al «principio de movimiento relativo», los observadores en movimiento dentro del éter también asumen que están en reposo y que la velocidad de la luz es constante en todas las direcciones (solo hasta el primer orden en v/c ). Por lo tanto, si sincronizan sus relojes usando señales de luz, solo considerarán el tiempo de tránsito de las señales, pero no su movimiento con respecto al éter. Así, los relojes en movimiento no son síncronos y no indican el tiempo «verdadero». Poincaré calculó que este error de sincronización corresponde al tiempo local de Lorentz. [ 4 ] [ 5 ] En 1904, Poincaré enfatizó la conexión entre el principio de relatividad, el «tiempo local» y la invariancia de la velocidad de la luz; sin embargo, el razonamiento en ese artículo se presentó de manera cualitativa y conjetural. [ 6 ] [ 7 ]

Albert Einstein empleó un método similar en 1905 para derivar la transformación temporal para todos los órdenes en v/c , es decir, la transformación de Lorentz completa. Poincaré obtuvo la transformación completa a principios de 1905, pero en los artículos de ese año no mencionó su procedimiento de sincronización. Esta derivación se basó completamente en la invariancia de la velocidad de la luz y el principio de relatividad, por lo que Einstein señaló que, para la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, el éter es superfluo. Así, la separación entre tiempos "verdaderos" y "locales" de Lorentz y Poincaré desaparece : todos los tiempos son igualmente válidos y, por lo tanto, la relatividad de la longitud y el tiempo es una consecuencia natural. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] 

En 1908, Hermann Minkowski introdujo el concepto de línea de universo de una partícula [ 11 ] en su modelo del cosmos llamado espacio de Minkowski . En la visión de Minkowski, la noción ingenua de velocidad se reemplaza por rapidez , y el sentido ordinario de simultaneidad pasa a depender de la ortogonalidad hiperbólica de las direcciones espaciales a la línea de universo asociada a la rapidez. Entonces, cada marco de referencia inercial tiene una rapidez y un hiperplano simultáneo .

En 1987, Robert Goldblatt publicó Orthogonality and Spacetime Geometry , abordando directamente la estructura que Minkowski había establecido para la simultaneidad. [ 12 ] En 2006, Max Jammer , a través de Project MUSE , publicó Concepts of Simultaneity: from antiquity to Einstein and beyond . El libro culmina en el capítulo 6, "La transición a la concepción relativista de la simultaneidad". Jammer indica que Ernst Mach desmitificó el tiempo absoluto de la física newtoniana.

Naturalmente, las nociones matemáticas precedieron a la interpretación física. Por ejemplo, los diámetros conjugados de hipérbolas conjugadas se relacionan como espacio y tiempo. El principio de relatividad puede expresarse como la arbitrariedad de qué par se toma para representar el espacio y el tiempo en un plano. [ 13 ]

Simultaneidad, medición y el significado del tiempo.

El artículo de Einstein de 1905 ("Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento") [ 8 ] no presentó la relatividad de la simultaneidad mediante el conocido experimento mental del tren y el terraplén . En cambio, la derivó operacionalmente a partir de un examen minucioso de cómo se mide el tiempo y cómo se definen y sincronizan los relojes distantes dentro de un marco inercial dado.

Qué significa asignar un tiempo a un evento lejano.

Newton creía en el tiempo absoluto como una especie de flujo que progresa uniformemente por todo el universo. Sin embargo, admitió que el tiempo absoluto era intrínsecamente imperceptible. [ 14 ] En contraste, Einstein señaló que el tiempo es algo que asignamos a eventos que siguen procedimientos acordados dentro de un marco de referencia utilizando artefactos que llamamos "relojes".

Es necesario distinguir entre «hora local» y « tiempo de coordenadas ». Un reloj aislado solo puede asignar marcas de tiempo a los eventos que percibe directamente. La hora local se refiere a estas marcas de tiempo locales. El tiempo de coordenadas se refiere a las etiquetas aplicadas a eventos que ocurren en otros lugares. Para asignar una hora a un evento distante, un observador siempre debe aplicar algún tipo de convención que relacione los eventos distantes con las lecturas del reloj local. [ 15 ]

Sincronización de reloj y propagación de señal invariante

Cualquier procedimiento para asignar tiempo a eventos distantes debe basarse en el intercambio de señales entre el evento distante y un reloj local.

En la práctica, la luz, o más generalmente la radiación electromagnética, se utiliza para establecer relaciones de tiempo porque la luz tiene la velocidad de propagación más rápida observada. Se observa empíricamente que esta velocidad de propagación es invariante en diferentes sistemas de referencia inerciales. [ 16 ]

La sincronización de relojes es una tarea operativa. En 1905, Einstein propuso un conjunto concreto de pasos para realizar la sincronización: [ 8 ] [ 17 ]

  1. En ese momentoτ1{\displaystyle \tau _{1}}El reloj 1 envía una señal al reloj 2 que se refleja inmediatamente de vuelta. Su tiempo de llegada de vuelta al reloj 1 esτ2{\displaystyle \tau _{2}}.
  2. El tiempo en que la señal llegó al reloj 2, designadoτ3{\displaystyle \tau _{3}}, se define como
τ3=τ1+12(τ2−τ1)=12(τ1+τ2).{\displaystyle \tau _{3}=\tau _{1}+{\tfrac {1}{2}}(\tau _{2}-\tau _{1})={\tfrac {1}{2}}(\tau _{1}+\tau _{2}).}

Por qué la sincronización no es una operación puramente local.

Aunque los relojes sean perfectos localmente, la sincronización depende de supuestos sobre la física distante que no pueden verificarse solo con mediciones locales. En particular, la validez de la sincronización de Einstein depende de [ 18 ].

  • isotropía del espacio,
  • homogeneidad del tiempo,
  • velocidad de señal finita e invariante.

La sincronización de los relojes es, por lo tanto, una cuestión de " convención ", un procedimiento con elementos no probados adoptado debido a su concordancia con las intuiciones humanas sobre el mundo físico. [ 19 ] [ 20 ]

Relatividad de la simultaneidad: demostración cualitativa

Figura 4. (a) Diagrama espaciotemporal que ilustra el procedimiento para definir la simultaneidad de los observadores A y B (en reposo en este sistema de referencia) mediante señales luminosas emitidas por una fuente X situada a medio camino entre ellos. (b) Procedimiento equivalente para el caso en que A, X y B se mueven con una velocidad común respecto al sistema de referencia.

Einstein demostró la relatividad de la simultaneidad algebraicamente tras derivar la transformación de Lorentz utilizando sus dos postulados. No lo haremos aquí. En su lugar, ilustraremos la relatividad de la simultaneidad mediante diagramas espaciotemporales , que proporcionan una representación gráfica de la transformación de Lorentz .

El procedimiento de Einstein para sincronizar relojes separados lleva inmediatamente a la observación de que la simultaneidad no puede ser absoluta. En la figura  4a, A y B son dos observadores en reposo en el sistema de referencia S, mientras que X es una fuente de luz ubicada a medio camino entre los dos observadores a lo largo del eje x . El diagrama ilustra un sistema de coordenadas donde ct constituye el eje vertical, donde c , la velocidad de la luz, es un factor de escala de modo que las distancias en el tiempo tengan la misma escala que las distancias en el espacio. Las tres líneas verticales, denominadas "líneas de universo", ilustran las posiciones de A, X y B en función del tiempo. Las líneas de universo son verticales ya que A, X y B están estacionarios en este sistema de referencia. Supongamos que X emite una señal en ct  =  0. Viaja a velocidad c hacia adelante y hacia atrás a lo largo del eje x . La señal está representada por dos líneas discontinuas con una pendiente de ±45° con respecto al eje x . La llegada de la señal a las posiciones A y B es simultánea, ya que las intersecciones de la señal con los observadores A y B comparten el mismo valor de ct . [ 21 ] : 74–76

Ahora bien, supongamos que A, X y B se mueven con respecto a S a una velocidad constante v en la dirección x. Sus líneas de universo están inclinadas como se muestra en la figura 4b, lo que refleja su movimiento uniforme en este sistema de referencia. Dado que la velocidad de la luz es invariante, la señal emitida por X continúa representándose mediante líneas discontinuas con una pendiente de ±45°. Las intersecciones de la señal con A y B ya no son simultáneas, como se mide en el sistema de referencia S. En particular, la señal llega a A antes que a B, porque A se mueve hacia el pulso de luz incidente mientras que B se aleja de él. Sin embargo, los observadores que se mueven junto con A, X y B no están de acuerdo con esta conclusión. En su propio sistema de referencia en reposo, han sincronizado sus relojes mediante el procedimiento de Einstein, de modo que las señales de X deben llegar a A y B simultáneamente. En la figura  4b, el conjunto de todos los eventos que son simultáneos en este sistema de referencia en movimiento debe incluir, por lo tanto, los dos eventos de recepción en A y B. La línea recta que une estos eventos (línea AB) representa el "tiempo igual" para los observadores en movimiento. [ 21 ] : 74–76

Experimentos mentales

La relatividad de la simultaneidad puede entenderse sin diagramas espaciotemporales utilizando el experimento mental del tren de Einstein.

El tren de Einstein

Figura 5. Einstein imaginó a un observador inmóvil que presenciaba cómo dos rayos impactaban simultáneamente en ambos extremos de un tren en movimiento. Concluyó que un observador parado en el tren mediría que los rayos impactarían en momentos diferentes.

La versión del experimento de Einstein [ 22 ] suponía que un observador estaba sentado a mitad de un vagón de tren en movimiento y otro estaba de pie en un andén mientras el tren pasaba. Según la medición del observador de pie, el tren es alcanzado por dos rayos simultáneamente, pero en diferentes posiciones a lo largo del eje de movimiento del tren (parte trasera y delantera del vagón). En el sistema de referencia inercial del observador de pie, hay tres eventos que están espacialmente desfasados, pero son simultáneos: el observador de pie frente al observador en movimiento (es decir, el centro del tren), el rayo que impacta en la parte delantera del vagón y el rayo que impacta en la parte trasera del vagón.

Dado que los eventos se ubican a lo largo del eje de movimiento del tren, sus coordenadas temporales se proyectan a diferentes coordenadas temporales en el sistema de referencia inercial del tren en movimiento. Los eventos que ocurren en coordenadas espaciales en la dirección del movimiento del tren suceden antes que los eventos en coordenadas opuestas a dicha dirección. En el sistema de referencia inercial del tren en movimiento, esto significa que el rayo impactará la parte delantera del vagón antes de que los dos observadores se alineen (se miren de frente).

El tren y el andén

Figura 6. El experimento del tren y el andén desde el sistema de referencia de un observador a bordo del tren.
Figura 7. Marco de referencia de un observador situado en la plataforma (la contracción de la longitud no se muestra).

Una imagen popular para comprender esta idea la proporciona un experimento mental similar a los sugeridos por Daniel Frost Comstock en 1910 [ 23 ] . También consiste en un observador situado a mitad de camino dentro de un vagón de tren en movimiento y otro observador de pie en un andén mientras el tren pasa.

Un destello de luz se emite en el centro del vagón justo cuando los dos observadores se cruzan. Para el observador a bordo del tren, la parte delantera y trasera del vagón se encuentran a distancias fijas de la fuente de luz y, por lo tanto, según este observador, la luz llegará a ambas partes del vagón al mismo tiempo.

Para el observador que se encuentra en el andén, la parte trasera del vagón se mueve (alcanzando) hacia el punto donde se emitió el destello, mientras que la parte delantera se aleja de él. Dado que la velocidad de la luz es, según el segundo postulado de la relatividad especial , la misma en todas las direcciones para todos los observadores, la luz que se dirige a la parte trasera del tren tendrá que recorrer una distancia menor que la que se dirige a la parte delantera. Por lo tanto, los destellos de luz incidirán en los extremos del vagón en momentos diferentes.

Figura 8. Diagrama espacio-temporal en el sistema de referencia del observador en el tren.
Figura 9. El mismo diagrama desde la perspectiva de un observador que ve el tren moviéndose hacia la derecha.

Diagramas espacio-temporales

Puede resultar útil visualizar esta situación mediante diagramas espaciotemporales . Para un observador dado, el eje t se define como un punto trazado en el tiempo desde el origen de la coordenada espacial x , y se dibuja verticalmente. El eje x se define como el conjunto de todos los puntos en el espacio en el instante t = 0 , y se dibuja horizontalmente. La afirmación de que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores se representa dibujando un rayo de luz como una línea de 45°, independientemente de la velocidad de la fuente con respecto a la del observador.

En la figura 8, los dos extremos del tren se representan con líneas grises. Dado que los extremos del tren permanecen fijos con respecto al observador, estas líneas son verticales, lo que indica su movimiento en el tiempo, pero no en el espacio. El destello de luz se muestra con líneas rojas a 45°. Los puntos donde los dos destellos de luz inciden en los extremos del tren se encuentran al mismo nivel en el diagrama. Esto significa que los eventos son simultáneos.

En la figura 9, los dos extremos del tren, que se mueven hacia la derecha, se muestran mediante líneas paralelas. El destello de luz se emite en un punto situado exactamente a medio camino entre ambos extremos del tren, formando dos líneas perpendiculares a 45°, lo que indica la constancia de la velocidad de la luz. Sin embargo, en esta imagen, los puntos donde los destellos de luz inciden en los extremos del tren no están al mismo nivel; no son simultáneos.

Transformación de Lorentz

La relatividad de la simultaneidad puede demostrarse utilizando la transformación de Lorentz, que relaciona las coordenadas utilizadas por un observador con las coordenadas utilizadas por otro en movimiento relativo uniforme con respecto al primero.

Supongamos que el primer observador utiliza coordenadas etiquetadas como t , x , y y z , mientras que el segundo observador utiliza coordenadas etiquetadas como t ′ , x ′ , y ′ y y ′ . Ahora supongamos que el primer observador ve al segundo moviéndose en la dirección x con una velocidad v . Y supongamos que los ejes de coordenadas de los observadores son paralelos y que tienen el mismo origen. Entonces, la transformación de Lorentz expresa cómo se relacionan las coordenadas: t′=t−vincógnita/do21−v2/do2,incógnita′=incógnita−vt1−v2/do2,y′=y,z′=z,{\displaystyle {\begin{aligned}t'&={\frac {t-{v\,x/c^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\\x'&={\frac {xv\,t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\\y'&=y,\\z'&=z,\end{aligned}}} donde c es la velocidad de la luz . Si dos eventos ocurren al mismo tiempo en el sistema de referencia del primer observador, tendrán valores idénticos de la coordenada t . Sin embargo, si tienen valores diferentes de la coordenada x (posiciones diferentes en la dirección x ), tendrán valores diferentes de la coordenada t ' , por lo que ocurrirán en momentos diferentes en ese sistema de referencia. El término que da cuenta del fallo de la simultaneidad absoluta es vx / c 2 .

Figura 10. Diagrama espaciotemporal que muestra el conjunto de puntos considerados simultáneos por un observador estacionario (línea de puntos horizontal) y el conjunto de puntos considerados simultáneos por un observador que se mueve a v = 0,25 c (línea discontinua).

La ecuación t ′ = constante define una "línea de simultaneidad" en el sistema de coordenadas ( x ′ , t ′ ) para el segundo observador (en movimiento), al igual que la ecuación t = constante define la "línea de simultaneidad" para el primer observador (estacionario) en el sistema de coordenadas ( x , t ) . De las ecuaciones anteriores para la transformada de Lorentz se puede ver que t ′ es constante si y solo si t − vx / c 2 = constante . Por lo tanto, el conjunto de puntos que hacen que t sea constante es diferente del conjunto de puntos que hacen que t ′ sea constante. Es decir, el conjunto de eventos que se consideran simultáneos depende del marco de referencia utilizado para hacer la comparación.

Gráficamente, esto se puede representar en un diagrama espacio-temporal por el hecho de que una gráfica del conjunto de puntos considerados simultáneos genera una línea que depende del observador. En el diagrama espacio-temporal, la línea discontinua representa un conjunto de puntos considerados simultáneos con el origen por un observador que se mueve con una velocidad v de un cuarto de la velocidad de la luz. La línea horizontal punteada representa el conjunto de puntos considerados simultáneos con el origen por un observador estacionario. Este diagrama se dibuja usando las coordenadas ( x , t ) del observador estacionario y se escala de manera que la velocidad de la luz sea uno, es decir, de manera que un rayo de luz estaría representado por una línea con un ángulo de 45° con respecto al eje x . De nuestro análisis anterior, dado que v = 0.25 y c = 1 , la ecuación de la línea discontinua de simultaneidad es t − 0.25 x = 0 y con v = 0 , la ecuación de la línea punteada de simultaneidad es t = 0 .

En general, el segundo observador traza una línea de universo en el espaciotiempo del primer observador, descrita por t = x / v , y el conjunto de eventos simultáneos para el segundo observador (en el origen) se describe mediante la línea t = vx . Nótese la relación inversa multiplicativa de las pendientes de la línea de universo y los eventos simultáneos, de acuerdo con el principio de ortogonalidad hiperbólica .

observadores acelerados

Figura 11. Isocontornos de tiempo de radar de ida y vuelta

El cálculo de la transformada de Lorentz anterior utiliza una definición de simultaneidad extendida (es decir, de cuándo y dónde ocurren eventos en los que usted no estuvo presente ) que podría denominarse definición de marco de referencia flotante libre tangente o comóvil. Esta definición se extrapola naturalmente a eventos en espaciotiempos con curvatura gravitacional y a observadores acelerados, mediante el uso de una definición de tiempo/distancia de radar que (a diferencia de la definición de marco de referencia flotante libre tangente para marcos acelerados) asigna un tiempo y una posición únicos a cada evento. [ 24 ]

La definición de simultaneidad extendida en términos de tiempo de radar facilita aún más la visualización de cómo la aceleración deforma el espaciotiempo para los viajeros en ausencia de objetos gravitatorios. Esto se ilustra en la figura de la derecha, que muestra isocontornos de tiempo/posición de radar para eventos en un espaciotiempo plano, tal como los experimenta un viajero (trayectoria roja) que realiza un viaje de ida y vuelta con aceleración propia constante . Una limitación de este enfoque es que el tiempo y el lugar de eventos remotos no se definen completamente hasta que la luz de dicho evento alcanza a nuestro viajero.

Véase también

Referencias

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  2. ↑ Poincaré, Henri (1898–1913), "La medida del tiempo" , Fundamentos de la ciencia , Nueva York: Science Press, págs. 222–234  
  3. ↑ Galison, Peter (2003), Los relojes de Einstein, los mapas de Poincaré: Imperios del tiempo , Nueva York: WW Norton, ISBN 0-393-32604-7
  4. ↑ Poincaré, Henri (1900), "La théorie de Lorentz et le principe de réaction" [ La teoría de Lorentz y el principio de reacción ] , Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles (en francés), 5 : 252– 278 . Véase también la traducción al inglés .
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  6. ↑ Poincaré, Henri (1904–1906), "Los principios de la física matemática" , Congreso de artes y ciencias, exposición universal, San Luis, 1904 , vol. 1, Boston/Nueva York: Houghton, Mifflin and Company, págs . 604–622   
  7. ↑ Holton, Gerald (1988), Orígenes temáticos del pensamiento científico: de Kepler a Einstein , Harvard University Press, ISBN 0-674-87747-0
  8. 1 2 3 Einstein, Albert (1905), "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" [ Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ] (PDF) , Annalen der Physik (en alemán), 322 (10): 891– 921, Bibcode : 1905AnP...322..891E , doi : 10.1002/andp.19053221004. Véase también: Traducción al inglés .
  9. ↑ Miller, Arthur I. (1981), La teoría especial de la relatividad de Albert Einstein. Surgimiento (1905) e interpretación temprana (1905–1911) , Reading, Massachusetts: Addison–Wesley, ISBN 0-201-04679-2
  10. ↑ Pais, Abraham (1982), El Señor es sutil: La ciencia y la vida de Albert Einstein , Nueva York: Oxford University Press, ISBN 0-19-520438-7
  11. ↑ Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit" [ Espacio y tiempo ] , Physikalische Zeitschrift (en alemán), 10 : 75– 88 
  12. ↑ Taimanov, AD (1989), "Reseña de "Ortogonalidad y geometría del espacio-tiempo"", Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 21 (1)
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