Desigualdad de Remez

En matemáticas , la desigualdad de Remez , descubierta por el matemático soviético Evgeny Yakovlevich Remez ( Remez 1936 ) , da una cota para las normas del supremo de ciertos polinomios , cota que se alcanza con los polinomios de Chebyshev .

Sea σ un número positivo fijo arbitrario. Definimos la clase de polinomios π _n ( σ ) como aquellos polinomios p de grado n para los cuales

${\displaystyle |p(x)|\leq 1}$

en algún conjunto de medida ≥ 2 contenido en el intervalo cerrado [−1,  1+ σ ]. Entonces la desigualdad de Remez establece que

${\displaystyle \sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\left\|p\right\|_{\infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}$

donde T _n ( x ) es el polinomio de Chebyshev de grado n , y la norma del supremo se toma sobre el intervalo [−1,  1+ σ ].

Observe que T _n está aumentando en${\displaystyle [1,+\infty ]}$, por eso

${\displaystyle \|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).}$

El Ri, combinado con una estimación de los polinomios de Chebyshev, implica el siguiente corolario : Si J  ⊂ R es un intervalo finito y E ⊂ J es un conjunto medible arbitrario , entonces   

para cualquier polinomio p de grado n .

Se han demostrado desigualdades similares a ( ⁎ ) para diferentes clases de funciones , y se conocen como desigualdades de tipo Remez. Un ejemplo importante es la desigualdad de Nazarov para sumas exponenciales ( Nazarov 1993 ) :

Desigualdad de Nazarov . Sea

${\displaystyle p(x)=\sum _ {k=1}^{n}a_ {k}e^{\lambda _ {k}x}}$

Sea una suma exponencial (con λk _arbitrario  ∈ C ), y sea J  ⊂ R un intervalo finito, E ⊂ J un conjunto medible arbitrario. Entonces    

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E}|p(x)|~,}$

donde C > 0 es una constante numérica.

En el caso especial en que λ _k son números imaginarios puros y enteros, y el subconjunto E es en sí mismo un intervalo, la desigualdad fue demostrada por Pál Turán y se conoce como el lema de Turán.

Esta desigualdad también se extiende a${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2}$de la siguiente manera

${\displaystyle \|p\|_{L^{p}(\mathbb {T} )}\leq e^{A(n-1)\operatorname {mes} (\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}}$

para algún A > 0 independiente de p , E y n . Cuando

${\displaystyle \operatorname {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}}$

Una desigualdad similar se cumple para p > 2. Para p = ∞ hay una extensión a polinomios multidimensionales.

Demostración: Aplicando el lema de Nazarov a${\displaystyle E=E_{\lambda }=\{x:|p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0}$conduce a

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\lambda }$

de este modo

${\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq C\,\,\operatorname {mes} J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}$

Ahora fije un conjunto${\displaystyle E}$y elegir${\displaystyle \lambda }$de tal manera que${\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E}$, eso es

${\displaystyle \lambda =\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|}$

Tenga en cuenta que esto implica:

1. ${\displaystyle \operatorname {mes} E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E.}$
2. ${\displaystyle \forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .}$

Ahora

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\in E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\[6pt]&\geq \lambda ^{p}{\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\[6pt]&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {mes} E}{\operatorname {mes} J}}\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}}$

con lo cual se completa la demostración.

Uno de los corolarios de la desigualdad de Remez es la desigualdad de Pólya , que fue demostrada por George Pólya ( Pólya 1928 ) , y establece que la medida de Lebesgue de un subconjunto de nivel de un polinomio p de grado n está acotada en términos del coeficiente principal LC( p ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {mes} \left\{x\in \mathbb {R}$ :\left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac {a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.}

• Remez, EJ (1936). "Sur une propriété des polynômes de Tchebyscheff". Com. Inst. Ciencia. Jarkov . 13 : 93-95 .
• Bojanov, B. (mayo de 1993). "Demostración elemental de la desigualdad de Remez". The American Mathematical Monthly . 100 (5). Mathematical Association of America: 483– 485. doi : 10.2307/2324304 . JSTOR 2324304 . 
• Fontes-Merz, N. (2006). "Una versión multidimensional del lema de Turan" . Journal of Approximation Theory . 140 (1): 27– 30. doi : 10.1016/j.jat.2005.11.012 .
• Nazarov, F. (1993). "Estimaciones locales para polinomios exponenciales y sus aplicaciones a desigualdades del tipo principio de incertidumbre". Algebra i Analiz . 5 (4): 3– 66.
• Nazarov, F. (2000). «Versión completa del lema de Turan para polinomios trigonométricos en la circunferencia unitaria». Análisis complejo, operadores y temas relacionados . Vol.  113. pp. 239–246 . doi : 10.1007/978-3-0348-8378-8_20 . ISBN  978-3-0348-9541-5.
• Pólya, G. (1928). "Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete". Sitzungsberichte Akad. Berlín : 280– 282.