Regresión mediana repetida

En estadística robusta , la regresión de mediana repetida , también conocida como estimador de mediana repetida , es un algoritmo de regresión lineal robusto . El estimador tiene un punto de ruptura del 50%. ^{[ 1 ]} Aunque es equivariante bajo escalamiento, o bajo transformaciones lineales de su variable explicativa o su variable de respuesta, no lo es bajo transformaciones afines que combinan ambas variables. ^{[ 1 ]} Se puede calcular en${\displaystyle O(n^{2})}$tiempo por fuerza bruta, en${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$tiempo utilizando técnicas más sofisticadas, ^{[ 2 ]} o en${\displaystyle O(n\log n)}$tiempo esperado aleatorio. ^{[ 3 ]} También se puede calcular utilizando un algoritmo en línea con${\displaystyle O(n)}$hora de actualización. ^{[ 4 ]}

El método de la mediana repetida estima la pendiente de la línea de regresión.${\displaystyle y=A+Bx}$por un conjunto de puntos${\displaystyle (X_{i},Y_{i})}$como

${\displaystyle {\widehat {B}}={\underset {i}{\operatorname {mediana} }}\ {\underset {j\,\neq \,i}{\operatorname {mediana} }}\ \operatorname {pendiente} (i,j)}$

dónde${\displaystyle \operatorname {slope} (i,j)}$se define como${\displaystyle (Y_{j}-Y_{i})/(X_{j}-X_{i})}$. ^{[ 5 ]}

La intersección estimada del eje Y se define como

${\displaystyle {\widehat {A}}={\underset {i}{\operatorname {median} }}\ {\underset {j\,\neq \,i}{\operatorname {median} }}\ \operatorname {intercept} (i,j)}$

dónde${\displaystyle \operatorname {intercept} (i,j)}$se define como${\displaystyle (X_{j}Y_{i}-X_{i}Y_{j})/(X_{j}-X_{i})}$. ^{[ 5 ]}

Una alternativa más sencilla y rápida para estimar la intersección${\displaystyle {\widehat {A}}}$es utilizar el valor${\displaystyle {\widehat {B}}}$simplemente estimado, por lo tanto: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\widehat {A}}={\underset {i}{\operatorname {median} }}\ (y_{i}-{\widehat {B}}x_{i})}$

Nota: Los métodos directos y jerárquicos de estimación ${\displaystyle {\widehat {A}}}$dan valores ligeramente diferentes, siendo el método jerárquico normalmente la mejor estimación. Este último enfoque jerárquico es idéntico al método de estimación${\displaystyle {\widehat {A}}}$en la regresión del estimador de Theil-Sen .

• Estimador de Theil-Sen