Multiplicidad (matemáticas)

En matemáticas , la multiplicidad de un elemento de un multiconjunto es el número de veces que aparece en dicho multiconjunto. Por ejemplo, el número de veces que un polinomio dado tiene una raíz en un punto determinado es la multiplicidad de esa raíz.

La noción de multiplicidad es importante para poder contar correctamente sin especificar excepciones (por ejemplo, raíces dobles que se cuentan dos veces). De ahí la expresión "contado con multiplicidad".

Si se ignora la multiplicidad, esto puede enfatizarse contando el número de elementos distintos , como en «el número de raíces distintas». Sin embargo, cuando se forma un conjunto (a diferencia de un multiconjunto), la multiplicidad se ignora automáticamente, sin necesidad de usar el término «distintos».

En la factorización prima , la multiplicidad de un factor primo es su${\displaystyle p}$Valoración -ádica . Por ejemplo, la factorización prima del entero 60 es

60 = 2 × 2 × 3 × 5,

La multiplicidad del factor primo 2 es 2 , mientras que la multiplicidad de cada uno de los factores primos 3 y 5 es 1. Por lo tanto, 60 tiene cuatro factores primos que permiten multiplicidades, pero solo tres factores primos distintos.

Dejar${\displaystyle F}$ser un campo y${\displaystyle p(x)}$sea ​​un polinomio en una variable con coeficientes en${\displaystyle F}$. Un elemento${\displaystyle a\in F}$es una raíz de multiplicidad${\displaystyle k}$de${\displaystyle p(x)}$si hay un polinomio${\displaystyle s(x)}$de tal manera que${\displaystyle s(a)\neq 0}$y${\displaystyle p(x)=(xa)^{k}s(x)}$. Si${\displaystyle k=1}$, entonces a se llama raíz simple . Si${\displaystyle k\geq 2}$, entonces${\displaystyle a}$se denomina raíz múltiple .

Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$tiene 1 y −4 como raíces y se puede escribir como${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$, lo que significa que 1 es una raíz de multiplicidad  2, y −4 es una raíz simple (de multiplicidad  1). La multiplicidad de una raíz es el número de ocurrencias de esta raíz en la factorización completa del polinomio, mediante el teorema fundamental del álgebra .

Si${\displaystyle a}$es una raíz de multiplicidad${\displaystyle k}$de un polinomio, entonces es una raíz de multiplicidad${\displaystyle k-1}$de la derivada de ese polinomio, a menos que la característica del campo subyacente sea un divisor de k , en cuyo caso${\displaystyle a}$es una raíz de multiplicidad al menos${\displaystyle k}$del derivado.

El discriminante de un polinomio es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple.

Comportamiento de una función polinómica cerca de una raíz múltiple

La gráfica de una función polinómica f interseca el eje x en las raíces reales del polinomio. La gráfica es tangente a este eje en las raíces múltiples de f , pero no lo es en las raíces simples. La gráfica cruza el eje x en las raíces de multiplicidad impar y no lo cruza en las raíces de multiplicidad par, donde "cruzar el eje x " significa que, cerca de la raíz, hay puntos de la gráfica a ambos lados del eje.

Una función polinómica no nula es no negativa en todas partes si y solo si todas sus raíces tienen multiplicidad par y existe una${\displaystyle x_{0}}$de tal manera que${\displaystyle f(x_{0})>0}$.

Para una ecuación${\displaystyle f(x)=0}$con una solución de una sola variable${\displaystyle x_{*}}$, la multiplicidad es${\displaystyle k}$si

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$y${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

En otras palabras, la función diferencial${\displaystyle \partial _{j}}$, definida como la derivada${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$de una función en${\displaystyle x_{*}}$, desaparece en${\displaystyle f}$para${\displaystyle j}$arriba a${\displaystyle k-1}$Esos funcionales diferenciales${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$abarca un espacio vectorial , llamado espacio dual de Macaulay en${\displaystyle x_{*}}$, ^{[ 1 ]} y su dimensión es la multiplicidad de${\displaystyle x_{*}}$como un cero de${\displaystyle f}$.

Dejar${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ser un sistema de${\displaystyle m}$ecuaciones de${\displaystyle n}$variables con una solución${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$dónde${\displaystyle \mathbf {f} }$es un mapeo de${\displaystyle R^{n}}$a${\displaystyle R^{m}}$o de${\displaystyle C^{n}}$a${\displaystyle C^{m}}$También existe un espacio dual de Macaulay de funcionales diferenciales en${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$en la que cada función desaparece en${\displaystyle \mathbf {f} }$La dimensión de este espacio dual de Macaulay es la multiplicidad de la solución.${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$a la ecuación${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$El espacio dual de Macaulay forma la estructura de multiplicidad del sistema en la solución. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Por ejemplo, la solución${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$del sistema de ecuaciones en forma de ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$con

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

es de multiplicidad 3 porque el espacio dual de Macaulay

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

es de dimensión 3, donde${\displaystyle \partial _{ij}}$denota el funcional diferencial${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$aplicada a una función en el punto${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$.

La multiplicidad siempre es finita si la solución está aislada, es invariante ante perturbaciones en el sentido de que una${\displaystyle k}$La solución de -pliegue se convierte en un grupo de soluciones con una multiplicidad combinada.${\displaystyle k}$bajo perturbación en espacios complejos, y es idéntico a la multiplicidad de intersección en sistemas polinomiales.

En geometría algebraica , la intersección de dos subvariedades de una variedad algebraica es una unión finita de variedades irreducibles . A cada componente de dicha intersección se le asocia una multiplicidad de intersección . Esta noción es local, en el sentido de que puede definirse observando lo que ocurre en un entorno de cualquier punto genérico de dicha componente. De ello se deduce que, sin pérdida de generalidad , podemos considerar, para definir la multiplicidad de intersección, la intersección de dos variedades afines (subvariedades de un espacio afín).

Así, dadas dos variedades afines V ₁ y V ₂ , consideremos una componente irreducible W de la intersección de V ₁ y V _2. Sea d la dimensión de W y P un punto genérico cualquiera de W. La intersección de W con d hiperplanos en posición general que pasan por P tiene una componente irreducible que se reduce al único punto P. Por lo tanto, el anillo local en esta componente del anillo de coordenadas de la intersección tiene un único ideal primo y, por consiguiente, es un anillo artiniano . Este anillo es, por lo tanto , un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo base. Su dimensión es la multiplicidad de intersección de V ₁ y V ₂ en W.

Esta definición nos permite enunciar con precisión el teorema de Bézout y sus generalizaciones.

Esta definición generaliza la multiplicidad de una raíz de un polinomio de la siguiente manera. Las raíces de un polinomio f son puntos en la recta afín , que son las componentes del conjunto algebraico definido por el polinomio. El anillo de coordenadas de este conjunto afín es${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$donde K es un cuerpo algebraicamente cerrado que contiene los coeficientes de f . Si${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$es la factorización de f , entonces el anillo local de R en el ideal primo${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$es${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$Este es un espacio vectorial sobre K , que tiene la multiplicidad${\displaystyle m_{i}}$de la raíz como dimensión.

Esta definición de multiplicidad de intersección, que se debe fundamentalmente a Jean-Pierre Serre en su libro Álgebra local , solo es válida para los componentes de teoría de conjuntos (también llamados componentes aislados ) de la intersección, no para los componentes incrustados . Se han desarrollado teorías para abordar el caso incrustado (véase la teoría de la intersección para más detalles).

Sea z₀ una raíz de una función holomorfa f , y sea n el menor entero _positivo tal que la n ^-ésima derivada de f evaluada en z₀ difiere de cero. Entonces _, la serie de potencias de f alrededor de _z₀ comienza con el n ^-ésimo término, y se dice que f tiene una raíz de multiplicidad (o "orden") n . Si n = 1, la raíz se denomina raíz simple. ^{[ 4 ]}   

También podemos definir la multiplicidad de los ceros y polos de una función meromorfa . Si tenemos una función meromorfa${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$Toma las expansiones de Taylor de g y h alrededor de un punto z ₀ , y encuentra el primer término no nulo en cada una (denota el orden de los términos m y n respectivamente) entonces si m  = n , entonces el punto tiene un valor no nulo. ${\displaystyle m>n,}$entonces el punto es un cero de multiplicidad${\displaystyle m-n.}$Si${\displaystyle m<n}$, entonces el punto tiene un polo de multiplicidad${\displaystyle n-m.}$El principio del argumento cuenta los ceros y los polos según su multiplicidad.

• Multiplicidad algebraica

• Krantz, SG. Manual de variables complejas . Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.