Teoría de la representación de grupos de difeomorfismos

En matemáticas , una fuente para la teoría de representación del grupo de difeomorfismos de una variedad diferenciable M es la observación inicial de que (para M conexa) ese grupo actúa transitivamente sobre M.

Un artículo de revisión de 1975 sobre el tema, realizado por Anatoly Vershik , Israel Gelfand y MI Graev ^{[ 1 ],} atribuye el interés original en el tema a la investigación en física teórica del álgebra de corriente local , en los años anteriores. La investigación sobre las representaciones de configuración finita se encontraba en los artículos de RS Ismagilov (1971) y AA Kirillov (1974). Las representaciones de interés en física se describen como un producto cruzado C ^∞ ( M )·Diff( M ).

Sea M una variedad diferenciable conexa n -dimensional y x un punto cualquiera en ella. Sea Diff( M ) el grupo de difeomorfismos que preserva la orientación de M (solo la componente identidad de las aplicaciones homotópicas al difeomorfismo identidad si se desea) y Diff _x ¹ ( M ) el estabilizador de x . Entonces, M se identifica como un espacio homogéneo .

Diferencia( M )/Diferencia _x ¹ ( M ).

Desde el punto de vista algebraico, en cambio,${\displaystyle C^{\infty }(M)}$es el álgebra de funciones suaves sobre M y${\displaystyle I_{x}(M)}$es el ideal de funciones suaves que se anulan en x . Sea${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$Sea el ideal de funciones suaves que se anulan hasta la n-ésima derivada parcial en x .${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$es invariante bajo el grupo Diff _x ¹ ( M ) de difeomorfismos que fijan x. Para n > 0 el grupo Diff _x ⁿ ( M ) se define como el subgrupo de Diff _x ¹ ( M ) que actúa como la identidad en${\displaystyle I_{x}(M)/I_{x}^{n}(M)}$. Entonces, tenemos una cadena descendente

Diff( M ) ⊃ Diff _x ¹ (M) ⊃ ... ⊃ Diff _x ⁿ ( M ) ⊃ ...

Aquí Diff _x ⁿ ( M ) es un subgrupo normal de Diff _x ¹ ( M ), lo que significa que podemos observar el grupo cociente.

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ).

Utilizando el análisis armónico , una función de valor real o complejo (con algunas propiedades topológicas suficientemente buenas) en el grupo de difeomorfismos puede descomponerse en funciones de representación Diff _x ¹ ( M ) sobre M .

Entonces, ¿cuáles son las representaciones de Diff _x ¹ ( M )? Usemos el hecho de que si tenemos un homomorfismo de grupo φ: G → H , entonces si tenemos una H -representación, podemos obtener una G -representación restringida. Entonces, si tenemos una rep de

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ),

podemos obtener una representación de Diff _x ¹ ( M ).

Veamos

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ² ( M )

Primero. Esto es isomorfo al grupo lineal general GL ⁺ ( n , R ) (y porque solo estamos considerando difeomorfismos que preservan la orientación y, por lo tanto, el determinante es positivo). ¿Cuáles son las representaciones de GL ⁺ ( n , R )?

${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL(n,\mathbb {R} )}$.

Sabemos que las representaciones de SL( n , R ) son simplemente tensores sobre n dimensiones. ¿Y qué hay de la parte R ⁺ ? Corresponde a la densidad , o dicho de otro modo, a cómo se reescala el tensor bajo el determinante del jacobiano del difeomorfismo en x . (Piénselo como el peso conforme, si se quiere, excepto que aquí no hay estructura conforme). (Por cierto, nada nos impide tener una densidad compleja).

Así pues, acabamos de descubrir las representaciones tensoriales (con densidad) del grupo de difeomorfismos.

Veamos

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ).

Este es un grupo de dimensión finita. Tenemos la cadena

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ⁿ ( M ) ⊂ ...

Aquí, los signos " ⊂ " deberían interpretarse como un homomorfismo inyectivo, pero como es canónico, podemos fingir que estos grupos cociente están incrustados uno dentro del otro.

Cualquier representante de

Diferencia _x ¹ ( M )/Diferencia _x ^m ( M )

puede convertirse automáticamente en un representante de

Diferencia _x ¹ / Diferencia _x ⁿ ( M )

si n > m . Digamos que tenemos una representación de

Diferencia _x ¹ / Diferencia _x ^{p + 2}

que no surge de una reputación de

Diferencia _x ¹ / Diferencia _x ^{p + 1} .

Entonces, llamamos al haz de fibras con esa representación como fibra (es decir, Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2} es el grupo de estructura ) un haz de jets de orden p .

Nota al margen: Este es realmente el método de representaciones inducidas, donde el grupo más pequeño es Diff _x ¹ (M) y el grupo más grande es Diff( M ).

En general, el espacio de secciones de los haces tensoriales y de jets constituye una representación irreducible, y a menudo analizamos una subrepresentación de estos. Podemos estudiar la estructura de estas representaciones mediante el análisis de las relaciones entre ellas.

Si la fibra no es una representación irreducible de Diff _x ¹ ( M ), entonces podemos tener un entrelazador no nulo que mapea cada fibra punto por punto en una representación cociente más pequeña . Además, la derivada exterior es un entrelazador del espacio de formas diferenciales a otro de orden superior. (Otras derivadas no lo son, porque las conexiones no son invariantes bajo difeomorfismos, aunque son covariantes ). La derivada parcial no es invariante bajo difeomorfismos. Hay un entrelazador de derivadas que toma secciones de un fibrado jet de orden p en secciones de un fibrado jet de orden p  +  1.