Determinación del tamaño de la muestra

Generalmente, un mayor tamaño de muestra conlleva una mayor precisión al estimar parámetros desconocidos. Por ejemplo, para determinar con exactitud la prevalencia de una infección por patógenos en una especie específica de pez, es preferible examinar una muestra de 200 peces en lugar de 100. Varios principios fundamentales de la estadística matemática describen este fenómeno, entre ellos la ley de los grandes números y el teorema del límite central .

En algunos casos, el aumento de precisión para tamaños de muestra mayores es mínimo, o incluso inexistente. Esto puede deberse a la presencia de errores sistemáticos o una fuerte dependencia en los datos, o a que los datos siguen una distribución de cola pesada, o a que presentan una fuerte dependencia o sesgo.

El tamaño de la muestra puede evaluarse según la calidad de las estimaciones resultantes, como se indica a continuación. Generalmente se determina en función del costo, el tiempo o la conveniencia de la recopilación de datos y la necesidad de una potencia estadística suficiente. Por ejemplo, si se estima una proporción, se puede desear que el intervalo de confianza del 95 % sea menor a 0,06 unidades. Alternativamente, el tamaño de la muestra puede evaluarse en función de la potencia de una prueba de hipótesis. Por ejemplo, si comparamos el apoyo a un determinado candidato político entre las mujeres con el apoyo a ese mismo candidato entre los hombres, podemos desear tener una potencia del 80 % para detectar una diferencia en los niveles de apoyo de 0,04 unidades.

Una situación relativamente sencilla es la estimación de una proporción . Es un aspecto fundamental del análisis estadístico, sobre todo al evaluar la prevalencia de una característica específica dentro de una población. Por ejemplo, podríamos querer estimar la proporción de residentes de una comunidad que tienen al menos 65 años.

El estimador de una proporción es${\displaystyle {\hat {p}}=X/n,}$donde X es el número de instancias 'positivas' (por ejemplo, el número de personas de las n personas muestreadas que tienen al menos 65 años). Cuando las observaciones son independientes , este estimador tiene una distribución binomial (escalada) (y también es la media muestral de datos de una distribución de Bernoulli ). La varianza máxima de esta distribución es 0,25, que ocurre cuando el parámetro verdadero es p = 0,5. En aplicaciones prácticas, donde el parámetro verdadero p es desconocido, la varianza máxima se emplea a menudo para evaluaciones del tamaño de la muestra. Si se conoce una estimación razonable para p, la cantidad${\displaystyle p(1-p)}$puede utilizarse en lugar de 0,25.

A medida que el tamaño de la muestra n crece suficientemente, la distribución de${\displaystyle {\hat {p}}}$se aproximará estrechamente a una distribución normal . ^{[ 1 ]} Usando esto y el método de Wald para la distribución binomial , se obtiene un intervalo de confianza, donde Z representa la puntuación Z estándar para el nivel de confianza deseado (por ejemplo, 1,96 para un intervalo de confianza del 95%), en la forma:

${\displaystyle \left({\widehat {p}}-Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}},\quad {\widehat {p}}+Z{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}\right)}$

Para determinar un tamaño de muestra apropiado n para estimar proporciones, se puede resolver la siguiente ecuación, donde W representa la amplitud deseada del intervalo de confianza. La fórmula resultante para el tamaño de la muestra se suele aplicar con una estimación conservadora de p (por ejemplo, 0,5):

${\displaystyle Z{\sqrt {\frac {0,25}{n}}}=W/2}$

para n , obteniendo el tamaño de la muestra.

${\displaystyle n={\frac {Z^{2}}{W^{2}}},}$en el caso de utilizar 0,5 como la estimación más conservadora de la proporción. (Nota: W/2 = margen de error ).

De lo contrario, la fórmula sería${\displaystyle Z{\sqrt {\frac {p(1-p)}{n}}}=W/2,}$lo cual produce${\displaystyle n={\frac {4Z^{2}p(1-p)}{W^{2}}}.}$

En la figura de la derecha se puede observar cómo cambian los tamaños de muestra para las proporciones binomiales en función de los diferentes niveles de confianza y márgenes de error.

Por ejemplo, al estimar la proporción de la población estadounidense que apoya a un candidato presidencial con un intervalo de confianza del 95% de 2 puntos porcentuales (0,02), se requiere un tamaño de muestra de (1,96) ^² / (0,02² ^{) = 9604, con un margen de error de 1} punto porcentual . Es razonable utilizar la estimación de 0,5 para p en este caso, ya que las elecciones presidenciales suelen estar cerca del 50/50, y también es prudente utilizar una estimación conservadora. El margen de error en este caso es de 1 punto porcentual (la mitad de 0,02).

En la práctica, la fórmula  :${\displaystyle \left({\widehat {p}}-1.96{\sqrt {\frac {0.25}{n}}},\quad {\widehat {p}}+1.96{\sqrt {\frac {0.25}{n}}}\right)}$Se utiliza comúnmente para formar un intervalo de confianza del 95% para la proporción verdadera. La ecuación${\displaystyle 2{\sqrt {\frac {0,25}{n}}}=W/2}$se puede resolver para n , proporcionando un tamaño de muestra mínimo necesario para cumplir con el margen de error deseado W. Lo anterior se simplifica comúnmente: ^{[ 2 ] [ 3 ]} n  =  4/ W ²  =  1/ B ² donde B es el límite de error en la estimación, es decir, la estimación generalmente se da como dentro de ± B . Para B = 10% se requiere n = 100, para B = 5% se necesita n = 400, para B = 3% el requisito se aproxima a n = 1000, mientras que para B = 1% se requiere un tamaño de muestra de n = 10000. Estos números se citan a menudo en informes de noticias de encuestas de opinión y otros sondeos de muestra . Sin embargo, los resultados informados pueden no ser el valor exacto ya que los números se redondean preferentemente hacia arriba. Sabiendo que el valor de n es el número mínimo de puntos de muestra necesarios para obtener el resultado deseado, el número de encuestados entonces debe estar en o por encima del mínimo.

En pocas palabras, si queremos estimar el tiempo promedio que tardan las personas en desplazarse al trabajo en una ciudad, en lugar de encuestar a toda la población, podemos tomar una muestra aleatoria de 100 personas, registrar sus tiempos de desplazamiento y calcular el tiempo promedio para esa muestra. Por ejemplo, la persona 1 tarda 25 minutos, la persona 2 tarda 30 minutos, y así sucesivamente hasta que la persona 100 tarda 20 minutos. Sumamos todos los tiempos de desplazamiento y los dividimos entre el número de personas de la muestra (100 en este caso). El resultado será la estimación del tiempo promedio de desplazamiento para toda la población. Este método es práctico cuando no es factible medir a todos los individuos de la población y proporciona una aproximación razonable basada en una muestra representativa.

De forma matemática precisa, al estimar la media poblacional utilizando una muestra independiente e idénticamente distribuida (iid) de tamaño n , donde cada valor de datos tiene una varianza ^σ² , el error estándar de la media muestral es:

${\displaystyle {\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}.}$

Esta expresión describe cuantitativamente cómo la estimación se vuelve más precisa a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Utilizando el teorema del límite central para justificar la aproximación de la media muestral con una distribución normal, se obtiene un intervalo de confianza de la forma

${\displaystyle \left({\bar {x}}-{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}},\quad {\bar {x}}+{\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$,

donde Z es una puntuación Z estándar para el nivel de confianza deseado (1,96 para un intervalo de confianza del 95%).

Para determinar el tamaño de muestra n requerido para un intervalo de confianza de ancho W, con W/2 como margen de error a cada lado de la media muestral, la ecuación

${\displaystyle {\frac {Z\sigma }{\sqrt {n}}}=W/2}$se puede resolver. Esto da como resultado la fórmula del tamaño de la muestra, para n :

${\displaystyle n={\frac {4Z^{2}\sigma ^{2}}{W^{2}}}}$.

Por ejemplo, si se estima el efecto de un fármaco sobre la presión arterial con un intervalo de confianza del 95% de seis unidades de amplitud, y la desviación estándar conocida de la presión arterial en la población es 15, el tamaño de muestra requerido sería${\displaystyle {\frac {4\times 1.96^{2}\times 15^{2}}{6^{2}}}=96.04}$, que se redondearía a 97, ya que los tamaños de muestra deben ser números enteros y deben cumplir o superar el valor mínimo calculado . Comprender estos cálculos es fundamental para los investigadores que diseñan estudios para estimar con precisión las medias poblacionales dentro del nivel de confianza deseado.

La tabla que se muestra a la derecha se puede utilizar en una prueba t de dos muestras para estimar los tamaños de muestra de un grupo experimental y un grupo de control que sean de igual tamaño, es decir, el número total de individuos en el ensayo es el doble del número dado, y el nivel de significancia deseado es 0,05. ^{[ 4 ]} Los parámetros utilizados son:

• La potencia estadística deseada del ensayo se muestra en la columna de la izquierda.
• La d de Cohen (=  tamaño del efecto), que es la diferencia esperada entre las medias de los valores objetivo entre el grupo experimental y el grupo de control , dividida por la desviación estándar esperada .

Calcular el tamaño de muestra necesario suele ser complicado, ya que la distribución del estadístico de prueba bajo la hipótesis alternativa de interés generalmente es difícil de manejar. Existen fórmulas aproximadas para el cálculo del tamaño de muestra en problemas específicos; algunas referencias generales son ^{[ 5 ]} y ^{[ 6 ].}

El algoritmo QuickSize ^{[ 7 ]} es un método muy general, sencillo de usar y lo suficientemente versátil como para ofrecer una solución exacta para una amplia gama de problemas. Utiliza simulación junto con un algoritmo de búsqueda.

La ecuación de recursos de Mead se utiliza a menudo para estimar el tamaño de la muestra en animales de laboratorio , así como en muchos otros experimentos de laboratorio. Si bien puede no ser tan precisa como otros métodos para estimar el tamaño de la muestra, proporciona una idea del tamaño adecuado cuando parámetros como las desviaciones estándar esperadas o las diferencias esperadas entre grupos son desconocidos o muy difíciles de estimar. ^{[ 8 ]}

Todos los parámetros de la ecuación son, de hecho, los grados de libertad del número de sus conceptos y, por lo tanto, a sus números se les resta 1 antes de insertarlos en la ecuación.

La ecuación es: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle E=N-B-T,}$

dónde:

• N es el número total de individuos o unidades en el estudio (menos 1).
• B es el componente de bloqueo , que representa los efectos ambientales permitidos en el diseño (menos 1).
• T es el componente de tratamiento , que corresponde al número de grupos de tratamiento (incluido el grupo de control ) que se utilizan, o al número de preguntas que se hacen (menos 1).
• E representa los grados de libertad del componente de error y debería estar entre 10 y 20.

Por ejemplo, si se planifica un estudio con animales de laboratorio con cuatro grupos de tratamiento ( T = 3), con ocho animales por grupo, lo que da un total de 32 animales ( N = 31), sin ninguna estratificación adicional ( B = 0), entonces E sería igual a 28, que está por encima del límite de 20, lo que indica que el tamaño de la muestra puede ser un poco demasiado grande, y seis animales por grupo podrían ser más apropiados. ^{[ 9 ]}

Sean X _i , i = 1, 2, ..., n observaciones independientes tomadas de una distribución normal con media desconocida μ y varianza conocida σ ² . Consideremos dos hipótesis, una hipótesis nula :

${\displaystyle H_{0}:\mu =0}$

y una hipótesis alternativa:

${\displaystyle H_{a}:\mu =\mu ^{*}}$

para alguna 'diferencia significativa más pequeña' μ ^*  >  0. Este es el valor más pequeño para el cual nos interesa observar una diferencia. Ahora, para (1) rechazar H ₀ con una probabilidad de al menos 1  − β cuando H _a es verdadera (es decir, una potencia de 1 − β ), y (2) rechazar H ₀ con probabilidad α cuando H ₀ es verdadera, es necesario lo siguiente: Si z _α es el punto porcentual superior α de la distribución normal estándar, entonces   

${\displaystyle \Pr({\bar {x}}>z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}\mid H_{0})=\alpha }$

y entonces

'Rechazar H ₀ si nuestro promedio de muestra (${\displaystyle {\bar {x}}}$) es más que${\displaystyle z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}}$'

es una regla de decisión que satisface (2). (Esta es una prueba unilateral). En tal escenario, lograr esto con una probabilidad de al menos 1−β cuando la hipótesis alternativa H _a es verdadera se vuelve imperativo. Aquí, el promedio de la muestra proviene de una distribución normal con una media de μ ^* . Por lo tanto, el requisito se expresa como:

${\displaystyle \Pr({\bar {x}}>z_{\alpha }\sigma /{\sqrt {n}}\mid H_{a})\geq 1-\beta }$

Mediante una manipulación cuidadosa, se puede demostrar (véase el ejemplo de potencia estadística ) que esto ocurre cuando

${\displaystyle n\geq \left({\frac {z_{\alpha }+\Phi ^{-1}(1-\beta )}{\mu ^{*}/\sigma }}\right)^{2}}$

dónde${\displaystyle \Phi }$es la función de distribución acumulativa normal .