Coeficiente de restitución

El coeficiente de restitución (COR) es una propiedad de un par de objetos en una colisión, no de un solo objeto. Si un objeto colisiona con dos objetos diferentes, cada colisión tiene su propio COR. Cuando se describe un solo objeto con un coeficiente de restitución determinado, como si fuera una propiedad intrínseca sin referencia a un segundo objeto, se han hecho ciertas suposiciones, por ejemplo, que la colisión es con otro objeto idéntico o con una pared perfectamente rígida.

En un análisis básico de colisiones, e se suele tratar como una constante adimensional, independiente de la masa y las velocidades relativas de los dos objetos, considerando la colisión prácticamente instantánea. Un ejemplo común en la enseñanza es la colisión de dos bolas de billar idealizadas . Las interacciones en el mundo real pueden ser más complejas; por ejemplo, cuando es necesario considerar la estructura interna de los objetos o cuando se producen efectos más complejos durante el tiempo transcurrido entre el contacto inicial y la separación final.

e suele ser un número real positivo entre 0 y 1:

• e = 0 : Se trata de una colisión perfectamente inelástica en la que los objetos no rebotan en absoluto y acaban tocándose.
• 0 < e < 1 : Se trata de una colisión inelástica real , en la que se disipa parte de la energía cinética . Los objetos rebotan con una velocidad de separación menor que la velocidad de aproximación.
• e = 1 : Se trata de una colisión perfectamente elástica , en la que no se disipa energía cinética. Los objetos rebotan con la misma velocidad relativa con la que se aproximaron.

En principio, es posible que existan valores fuera de ese rango, aunque en la práctica normalmente no se analizarían con un análisis básico que considere a e como una constante:

• e < 0 : Un COR menor que cero implica una colisión en la que los objetos se atraviesan entre sí, por ejemplo, una bala que atraviesa un objetivo.
• e > 1 : Esto implica una colisión superelástica en la que los objetos rebotan con una velocidad relativa mayor que la velocidad de aproximación, debido a que se libera energía almacenada adicional durante la colisión.

Aunque e no varía con las masas de los objetos que colisionan, sus velocidades finales dependen de la masa debido a la conservación del momento :$${\displaystyle v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}e(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$ y $${\displaystyle v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$ dónde

• ${\displaystyle v_{\text{a}}}$es la velocidad de A después del impacto
• ${\displaystyle v_{\text{b}}}$es la velocidad de B después del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{a}}}$es la velocidad de A antes del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{b}}}$es la velocidad de B antes del impacto
• ${\displaystyle m_{\text{a}}}$es la masa de A
• ${\displaystyle m_{\text{b}}}$es la masa de B

Pérdida de energía cinética en el sistema de referencia del centro de masas : $${\displaystyle \Delta T=-(1-e^{2})\cdot \Delta T_{0,{\text{CM}}}=-(1-e^{2})\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {m_{\text{a}}m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}\cdot (u_{\text{a}}-u_{\text{b}})^{2}}$$

dónde

• ${\displaystyle \Delta T}$es la energía cinética perdida durante la colisión
• ${\displaystyle e}$es el coeficiente de restitución
• ${\displaystyle \Delta T_{0,{\text{CM}}}}$es la energía cinética inicial en el sistema de referencia del centro de masas
• ${\displaystyle m_{\text{a}}}$es la masa del objeto A
• ${\displaystyle m_{\text{b}}}$es la masa del objeto B
• ${\displaystyle u_{\text{a}}}$es la velocidad de A antes de la colisión
• ${\displaystyle u_{\text{b}}}$es la velocidad de B antes de la colisión

En situaciones prácticas, el coeficiente de restitución entre dos cuerpos puede tener que determinarse experimentalmente, por ejemplo, mediante el ensayo de dureza por rebote de Leeb . Este ensayo utiliza una punta de carburo de tungsteno , una de las sustancias más duras disponibles, que se deja caer sobre las muestras desde una altura específica.

Un estudio exhaustivo de los coeficientes de restitución en función de las propiedades del material (módulos elásticos, reología ), la dirección del impacto, el coeficiente de fricción y las propiedades adhesivas de los cuerpos que impactan se puede encontrar en Willert (2020). ^{[ 3 ]}

Los drivers de palos de golf de cara delgada utilizan un "efecto trampolín" que crea golpes de mayor distancia como resultado de la flexión y la posterior liberación de la energía almacenada, lo que imparte un mayor impulso a la bola. La USGA (organismo rector del golf en Estados Unidos) prueba ^{[ 4 ]} los drivers para el coeficiente de restitución (COR) y ha establecido el límite superior en 0,83. El COR es una función de las velocidades de la cabeza del palo y disminuye a medida que aumenta dicha velocidad. ^{[ 5 ]} En el informe, el COR varía de 0,845 para 90  mph a tan solo 0,797 a 130  mph. El mencionado "efecto trampolín" lo demuestra, ya que reduce la tasa de tensión de la colisión al aumentar el tiempo de la misma. Según un artículo (que trata sobre el COR en raquetas de tenis ), "para las condiciones de referencia, el coeficiente de restitución utilizado es de 0,85 para todas las raquetas, eliminando las variables de tensión de las cuerdas y rigidez del marco que podrían sumar o restar al coeficiente de restitución". ^{[ 6 ]}

La Federación Internacional de Tenis de Mesa especifica que la pelota debe rebotar entre 24 y 26  cm cuando se deja caer desde una altura de 30,5  cm sobre un bloque de acero estándar, ^{[ 7 ]} lo que implica un COR de 0,887 a 0,923.

Las reglas de la Federación Internacional de Baloncesto (FIBA) requieren que el balón rebote a una altura de entre 1035 y 1085  mm cuando se deja caer desde una altura de 1800  mm, ^{[ 8 ]} lo que implica un COR entre 0,758 y 0,776.