El lema de Fatou

En matemáticas , el lema de Fatou establece una desigualdad que relaciona la integral de Lebesgue del límite inferior de una sucesión de funciones con el límite inferior de las integrales de dichas funciones. El lema recibe su nombre de Pierre Fatou .

El lema de Fatou se puede utilizar para demostrar el teorema de Fatou-Lebesgue y el teorema de convergencia dominada de Lebesgue .

Declaración estándar

En lo que sigue, $\operatorname {\mathcal {B}} _ {{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$ denota el $\sigma$ -álgebra de conjuntos de Borel en $[0,+\infty ]$ .

Teorema — Lema de Fatou. Dado un espacio de medida $(\Omega,{\mathcal {F}},\mu)$ y un conjunto $X\in {\mathcal {F}},$ dejar $\{f_{n}\}$ ser una secuencia de $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _ {{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$ -funciones no negativas medibles $f_{n}:X\to [0,+\infty ]$ . Definir la función $f:X\to [0,+\infty ]$ por $f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x),$ por cada $x\in X$ . Entonces $f$ es $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})$ -medible y

\int _{X}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,

donde las integrales y el límite inferior pueden ser infinitos .

El lema de Fatou sigue siendo cierto si se cumplen sus supuestos. $\mu$ - casi en todas partes . En otras palabras, basta con que exista un conjunto nulo. $N$ de tal manera que los valores $\{f_{n}(x)\}$ son no negativos para cada ${x\in X\setminus N}.$ Para ver esto, observe que las integrales que aparecen en el lema de Fatou no cambian si modificamos cada función en $N$ .

Prueba

El lema de Fatou no requiere el teorema de convergencia monótona , pero este último puede utilizarse para proporcionar una demostración rápida y natural. Más adelante se ofrece una demostración directa a partir de las definiciones de integrales.

Mediante el Teorema de Convergencia Monótona

dejar $\textstyle g_{n}(x)=\inf _{k\geq n}f_{k}(x)$ . Entonces:

la secuencia $\{g_{n}(x)\}_{n}$ es puntualmente no decreciente en cualquier $x$ y
$g_{n}\leq f_{n}$ , $\forall n\in \mathbb {N}$ .

Desde

f(x)=\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)=\sup _{n}\inf _{k\geq n}f_{k}(x)=\sup _{n}g_{n}(x)

,

y el ínfimo y el supremo de las funciones medibles son medibles vemos que $f$ es medible.

Por el teorema de convergencia monótona y la propiedad (1), el supremo y la integral pueden intercambiarse:

{\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\int _{X}\sup _{n}g_{n}\,d\mu \\&=\sup _{n}\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&=\liminf _{n\to \infty }\int _{X}g_{n}\,d\mu \\&\leq \liminf _{n\to \infty }\int _{X}f_{n}\,d\mu ,\end{aligned}}

donde el último paso utilizó la propiedad (2).

Desde los "principios fundamentales"

Para demostrar que el teorema de convergencia monótona no está "oculto", la demostración que sigue no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí y el hecho de que las funciones $f$ y $g_{n}$ son medibles.

Denotemos por $\operatorname {SF} (f)$ el conjunto de simples $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$ -funciones medibles $s:X\to [0,\infty )$ de tal manera que $0\leq s\leq f$ en $X$ .

Monotonía —

Si $f\leq g$ en todas partes $X,$ entonces

\int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .

Si $X_{1},X_{2}\in {\mathcal {F}}$ y $X_{1}\subseteq X_{2},$ entonces

\int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

Si $f$ es no negativo y $S=\cup _{i=1}^{\infty }S_{i}$ , dónde $S_{1}\subseteq \ldots \subseteq S_{i}\subseteq \ldots \subseteq S$ es una cadena no decreciente de $\mu$ -conjuntos medibles, entonces

\int _{S}{f\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

Prueba

1. Desde $f\leq g,$ tenemos

\operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g).

Por definición de la integral de Lebesgue y las propiedades del supremo,

\int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .

2. Deja ${\mathbf {1} }_{X_{1}}$ ser la función indicadora del conjunto $X_{1}.$ De la definición de integral de Lebesgue se puede deducir que

\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu =\int _{X_{1}}f\,d\mu

si nos damos cuenta de que, por cada $s\in {\rm {SF}}(f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}),$ $s=0$ fuera de $X_{1}.$ Combinada con la propiedad anterior, la desigualdad $f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f$ implica

\int _{X_{1}}f\,d\mu =\int _{X_{2}}f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .

3. En primer lugar, cabe señalar que la afirmación se cumple si $f$ es la función indicadora de un conjunto, debido a la monotonicidad de las medidas . Por linealidad, esto también implica inmediatamente la afirmación para funciones simples.

Dado que cualquier función simple soportada en $S n$ es simple y soportada en $X$ , debemos tener

\int _{X}{f\,d\mu }\geq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

.

Para lo contrario, supongamos que $g \in SF(f)$ con $\textstyle \int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }$ Por lo anterior,

\int _{X}{f\,d\mu }-\epsilon \leq \int _{X}{g\,d\mu }=\lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{g\,d\mu }}\leq \lim _{n\to \infty }{\int _{S_{n}}{f\,d\mu }}

Ahora pasamos al teorema principal.

Paso 1 — $g_{n}=g_{n}(x)$ es $({\mathcal {F}},\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})$ -medible, para cada $n\geq 1$ , tal como está $f$ .

Prueba

Recordemos que los intervalos cerrados generan el álgebra $σ$ de Borel . Por lo tanto, basta con demostrar que, para cada $t\in [-\infty ,+\infty ]$ , eso $g_{n}^{-1}([t,+\infty ])\in {\mathcal {F}}$ Ahora observe que

{\begin{aligned}g_{n}^{-1}([t,+\infty ])&=\left\{x\in X\mid g_{n}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\left\{x\in X\;\left|\;\inf _{k\,\geq \,n}f_{k}(x)\geq t\right.\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}\left\{x\in X\mid f_{k}(x)\geq t\right\}\\[3pt]&=\bigcap _{k\,\geq \,n}f_{k}^{-1}([t,+\infty ])\end{aligned}}

Cada conjunto del lado derecho es de ${\mathcal {F}}$ , que es cerrado bajo intersecciones contables. Por lo tanto, el lado izquierdo también es miembro de ${\mathcal {F}}$ .

De igual modo, basta con verificar que $f^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}$ , por cada $t\in [-\infty ,+\infty ]$ . Dado que la secuencia $\{g_{n}(x)\}$ no decrecientes puntuales,

f^{-1}([0,t])=\bigcap _{n}g_{n}^{-1}([0,t])\in {\mathcal {F}}

.

Paso 2 — Dada una función simple $s\in \operatorname {SF} (f)$ y un número real $t\in (0,1)$ , definir

B_{k}^{s,t}=\{x\in X\mid t\cdot s(x)\leq g_{k}(x)\}\subseteq X.

Entonces $B_{k}^{s,t}\in {\mathcal {F}}$ , $B_{k}^{s,t}\subseteq B_{k+1}^{s,t}$ , y $\textstyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,t}$ .

Prueba

Paso 2a. Para demostrar la primera afirmación, escriba $s$ como una suma ponderada de funciones indicadoras de conjuntos disjuntos :

s=\sum _{i=1}^{m}c_{i}\cdot \mathbf {1} _{A_{i}}

.

Entonces

B_{k}^{s,t}=\bigcup _{i=1}^{m}{\Bigl (}g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}

.

Dado que la preimagen $g_{k}^{-1}{\Bigl (}[t\cdot c_{i},+\infty ]{\Bigr )}$ del conjunto Borel $[t\cdot c_{i},+\infty ]$ bajo la función medible $g_{k}$ es medible y $\sigma$ Las álgebras son cerradas bajo intersecciones y uniones finitas, por lo que se deduce la primera afirmación.

Paso 2b. Para probar la segunda afirmación, observe que, para cada $k$ y cada $x\in X$ , $g_{k}(x)\leq g_{k+1}(x).$

Paso 2c. Para probar la tercera afirmación, supongamos que por contradicción existe

x_{0}\in X\setminus \bigcup _{k}B_{k}^{s,t}=\bigcap _{k}(X\setminus B_{k}^{s,t})

Entonces $0\leq g_{k}(x_{0})<t\cdot s(x_{0})<s(x_{0})$ , por cada $k$ Tomando el límite como $k\to \infty$ ,

f(x_{0})\leq t\cdot s(x_{0})<s(x_{0}).

Esto contradice nuestra suposición inicial de que $s\leq f$ .

Paso 3 — A partir del paso 2 y la monotonicidad,

\lim _{n}\int _{B_{n}^{s,t}}s\,d\mu =\int _{X}s\,d\mu .

Paso 4 — Por cada $s\in \operatorname {SF} (f)$ ,

\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

.

Prueba

De hecho, utilizando la definición de $B_{k}^{s,t}$ , la no negatividad de $g_{k}$ y la monotonicidad de la integral de Lebesgue, tenemos

\forall k\geq 1\qquad \int _{B_{k}^{s,t}}t\cdot s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,t}}g_{k}\,d\mu \leq \int _{X}g_{k}\,d\mu

.

De acuerdo con el paso 4, como $k\to \infty$ la desigualdad se convierte en

t\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

.

Tomando el límite como $t\uparrow 1$ rendimientos

\int _{X}s\,d\mu \leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu

,

según sea necesario.

Paso 5 — Para completar la demostración, aplicamos la definición de integral de Lebesgue a la desigualdad establecida en el Paso 4 y tomamos en cuenta que $g_{n}\leq f_{n}$ :

{\begin{aligned}\int _{X}f\,d\mu &=\sup _{s\in \operatorname {SF} (f)}\int _{X}s\,d\mu \\&\leq \lim _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&=\liminf _{k}\int _{X}g_{k}\,d\mu \\&\leq \liminf _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \end{aligned}}

La prueba está completa.

Ejemplos de desigualdad estricta

Equipar el espacio $S$ con el σ -álgebra de Borel y la medida de Lebesgue .

Ejemplo de un espacio de probabilidad : Sea $S=[0,1]$ denotamos el intervalo unitario . Para cada número natural $n$ definir

f_{n}(x)={\begin{cases}n&{\text{for }}x\in (0,1/n),\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Ejemplo con convergencia uniforme : Sea $S$ denotamos el conjunto de todos los números reales . Definimos

f_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [0,n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Estas secuencias $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converger en $S$ puntualmente (respectivamente uniformemente) a la función cero (con integral cero), pero cada $f_{n}$ tiene uno integral.

El papel de la no negatividad

Para el lema de Fatou es necesaria una suposición adecuada sobre las partes negativas de la secuencia f ₁ , f ₂ , . . . de funciones, como muestra el siguiente ejemplo. Sea S la semirrecta [0,∞) con el álgebra σ de Borel y la medida de Lebesgue. Para cada número natural n, definimos

f_{n}(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{n}}&{\text{for }}x\in [n,2n],\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Esta sucesión converge uniformemente en S a la función cero y el límite, 0, se alcanza en un número finito de pasos: para todo x ≥ 0, si $n > x$ , entonces f _n ( x ) = 0. Sin embargo, toda función f _n tiene una integral de −1. Contrariamente al lema de Fatou, este valor es estrictamente menor que la integral del límite (0).

Como se analiza en la sección Extensiones y variaciones del lema de Fatou más adelante, el problema es que no existe una cota integrable uniforme para la secuencia desde abajo, mientras que 0 es la cota uniforme desde arriba.

Lema de Fatou inverso

Sea f ₁ , f ₂ , . . . una sucesión de funciones medibles reales extendidas definidas en un espacio de medida ( S , Σ , μ ). Si existe una función integrable no negativa g en S tal que f _n ≤ g para todo n , entonces

\limsup _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu .

Nota: Aquí g integrable significa que g es medible y que $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <\infty$ .

Bosquejo de prueba

Aplicamos la linealidad de la integral de Lebesgue y el lema de Fatou a la secuencia $g-f_{n}.$ Desde $\textstyle \int _{S}g\,d\mu <+\infty ,$ Esta secuencia está definida $\mu$ -casi en todas partes y no negativo.

Extensiones y variaciones del lema de Fatou

Límite inferior integrable

Dejar $f_{1},f_{2},\ldots$ sea una secuencia de funciones medibles de valor real extendidas definidas en un espacio de medida $(S,\Sigma ,\mu )$ . Si existe una función integrable $g$ en $S$ de tal manera que $f_{n}\geq -g$ a pesar de $n$ , entonces

\int _{S}\liminf _{n\to \infty }f_{n}\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .

Prueba

Aplique el lema de Fatou a la sucesión no negativa dada por $f_{n}+g$ .

Convergencia puntual

Si en la configuración anterior la secuencia $f_{1},f_{2},\ldots$ converge puntualmente a una función $f$ $\mu$ - casi en todas partes $S$ , entonces

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu \,.

Prueba

Tenga en cuenta que $f$ tiene que estar de acuerdo con el límite inferior de las funciones $f_{n}$ casi en todas partes, y que los valores del integrando en un conjunto de medida cero no influyen en el valor de la integral.

Convergencia en la medida

La última afirmación también se cumple si la secuencia $f_{1},f_{2},\ldots$ converge en medida a una función $f$ .

Prueba

Existe una subsecuencia tal que

\lim _{k\to \infty }\int _{S}f_{n_{k}}\,d\mu =\liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu .

Dado que esta subsecuencia también converge en medida a $f$ , existe una subsecuencia adicional que converge puntualmente a $f$ casi en todas partes, por lo tanto, la variación anterior del lema de Fatou es aplicable a esta sub-subsecuencia.

Lema de Fatou con medidas convergentes

Medidas con convergencia por conjuntos

En todas las afirmaciones anteriores del Lema de Fatou, la integración se llevó a cabo con respecto a una única medida fija. $\mu$ . Supongamos que $\mu _{n}$ es una secuencia de medidas en el espacio mensurable $(M,\Sigma )$ de tal manera que (véase Convergencia de medidas )

\forall E\in {\mathcal {F}}\colon \;\mu _{n}(E)\to \mu (E)

.

Luego, con $f_{n}$ funciones integrables no negativas y $f$ siendo su límite puntual inferior, tenemos

\int _{S}f\,d\mu \leq \liminf _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu _{n}.

funciones integrables asintóticamente uniformes

Los siguientes resultados utilizan la noción de integrable uniforme asintóticamente (aui) . Una sucesión $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ de medible $\{\mathbb {R} \cup \pm \infty \}$ Las funciones con valor son aui con respecto a una secuencia de medidas. $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ si

$\lim _{K\rightarrow +\infty }\limsup _{n\rightarrow \infty }\int _{M}|f_{n}(s)|\mathbf {I} \{s\in M:|f_{n}(s)|\geq K\}\mu _{n}(ds)=0\,.$

Medidas de convergencia débil

Una secuencia de medidas $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ en un espacio métrico $M$ converge débilmente a una medida finita $\mu$ en M si, para cada función continua acotada $f$ en $M$ ,

$\int _{M}f(s)\mu _{n}(ds)\rightarrow \int _{M}f(s)\mu (ds)\quad {\text{as }}n\rightarrow \infty \,.$

Teorema ^{[ 1 ]} — Denotemos $f_{n}^{-}(s)=-\min\{f_{n}(s),0\}$ . Dejar $M$ ser un espacio métrico, $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ser una secuencia de medidas en $M$ convergiendo débilmente a $\mu \in {\mathcal {M}}(M)$ , y $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ser una secuencia de medibles $\{\mathbb {R} \cup \pm \infty \}$ funciones con valor en $M$ de tal manera que $\{f_{n}^{-}\}_{n\in \mathbb {N} }$ es aui con respecto a $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ . Entonces

\int _{M}\liminf _{n\rightarrow \infty ,s'\rightarrow s}f_{n}(s')\mu (ds)\leq \liminf _{n\rightarrow \infty }\int _{M}f_{n}(s)\mu _{n}(ds)\,.

Medidas con convergencia en la variación total

Una secuencia de medidas finitas $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ en un espacio mensurable $(M,\Sigma )$ converge en variación total a una medida $\mu$ en $(M,\Sigma )$ si

$\sup \left\{\left|\int _{M}f(s)\mu _{n}(ds)-\int _{M}f(s)\mu (ds)\right|:\,f:M\mapsto [-1,1]{\text{ is measurable}}\right\}\rightarrow 0\quad {\text{as }}n\rightarrow \infty \,.$

Teorema ^{[ 2 ]} — Sea $M$ ser un espacio medible, $\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ser una secuencia de medidas en $M$ convergencia en variación total a una medida $\mu \in {\mathcal {M}}(M)$ , y $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ser una secuencia de medibles $\{\mathbb {R} \cup \pm \infty \}$ funciones con valor en $M$ , y $f$ ser medible $\{\mathbb {R} \cup \pm \infty \}$ función con valores en . Suponga que $f\in L^{1}(M;\mu )$ y $f_{n}\in L^{1}(M;\mu _{n})$ Entonces

\liminf _{n\rightarrow \infty }\inf _{C\in \Sigma }\left(\int _{C}f_{n}(s)\mu _{n}(ds)-\int _{C}f(s)\mu (ds)\right)\geq 0\,,

Si y solo si se cumplen las dos afirmaciones siguientes:

(i) para cada

\varepsilon >0

,

\mu (\{s\in M:f_{n}(s)\leq f(s)-\varepsilon \})\to 0

como

n\to \infty

y, por lo tanto, existe una subsecuencia

\{f_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }\subset \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

de tal manera que

f(s)\leq \liminf _{k\to \infty }f_{n_{k}}(s)

para

\mu

-ae

s\in M

;

(ii)

\{f_{n}^{-}\}_{n\in \mathbb {N} }

es aui con respecto a

\{\mu _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }

.

El lema de Fatou para las expectativas condicionales

En teoría de la probabilidad , mediante un cambio de notación, las versiones anteriores del lema de Fatou son aplicables a secuencias de variables aleatorias X ₁ , X ₂ , . . . definidas en un espacio de probabilidad. $\scriptstyle (\Omega ,\,{\mathcal {F}},\,\mathbb {P} )$ ; las integrales se convierten en esperanzas . Además, también hay una versión para esperanzas condicionales .

Versión estándar

Sea X ₁ , X ₂ , . . . una secuencia de variables aleatorias no negativas en un espacio de probabilidad $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ y dejar $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ sea una sub- σ-álgebra . Entonces

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi con seguridad .

Nota: La esperanza condicional para variables aleatorias no negativas siempre está bien definida, no se necesita una esperanza finita.

Prueba

Aparte de un cambio de notación, la demostración es muy similar a la de la versión estándar del lema de Fatou mencionada anteriormente; sin embargo, es necesario aplicar el teorema de convergencia monótona para esperanzas condicionales .

Sea X el límite inferior de X _n . Para cada número natural k, definamos puntualmente la variable aleatoria

Y_{k}=\inf _{n\geq k}X_{n}.

Entonces la sucesión Y ₁ , Y ₂ , . . . es creciente y converge puntualmente a X . Para k ≤ n , tenemos Y _k ≤ X _n , de modo que

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi seguro

por la monotonicidad de la expectativa condicional , por lo tanto

\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\leq \inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi con seguridad,

porque la unión numerable de los conjuntos excepcionales de probabilidad cero es nuevamente un conjunto nulo . Usando la definición de X , su representación como límite puntual de Y _k , el teorema de convergencia monótona para esperanzas condicionales, la última desigualdad y la definición del límite inferior, se deduce que casi seguramente

{\begin{aligned}\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}&=\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}]=\mathbb {E} {\Bigl [}\lim _{k\to \infty }Y_{k}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}=\lim _{k\to \infty }\mathbb {E} [Y_{k}|{\mathcal {G}}]\\&\leq \lim _{k\to \infty }\inf _{n\geq k}\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]=\liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}].\end{aligned}}

Extensión a partes negativas uniformemente integrables

Sea X ₁ , X ₂ , . . . una secuencia de variables aleatorias en un espacio de probabilidad $\scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ y dejar $\scriptstyle {\mathcal {G}}\,\subset \,{\mathcal {F}}$ sea una sub- σ-álgebra . Si las partes negativas

X_{n}^{-}:=\max\{-X_{n},0\},\qquad n\in {\mathbb {N} },

son uniformemente integrables con respecto a la esperanza condicional, en el sentido de que, para ε > 0 existe un c > 0 tal que

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon ,\qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}

,

entonces

\mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }X_{n}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\,\mathbb {E} [X_{n}|{\mathcal {G}}]

casi con seguridad.

Nota: En el set donde

X:=\liminf _{n\to \infty }X_{n}

Satisface

\mathbb {E} [\max\{X,0\}\,|\,{\mathcal {G}}]=\infty ,

El lado izquierdo de la desigualdad se considera infinito positivo. La esperanza condicional del límite inferior podría no estar bien definida en este conjunto, ya que la esperanza condicional de la parte negativa también podría ser infinito positivo.

Prueba

Sea ε > 0. Debido a la integrabilidad uniforme con respecto a la esperanza condicional, existe un c > 0 tal que

\mathbb {E} {\bigl [}X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}}\,|\,{\mathcal {G}}{\bigr ]}<\varepsilon \qquad {\text{for all }}n\in \mathbb {N} ,\,{\text{almost surely}}.

Desde

X+c\leq \liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+},

donde x ⁺ := max{ x ,0} denota la parte positiva de un x real , la monotonicidad de la esperanza condicional (o la convención anterior) y la versión estándar del lema de Fatou para esperanzas condicionales implican

\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]+c\leq \mathbb {E} {\Bigl [}\liminf _{n\to \infty }(X_{n}+c)^{+}\,{\Big |}\,{\mathcal {G}}{\Bigr ]}\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]

casi con seguridad.

Desde

(X_{n}+c)^{+}=(X_{n}+c)+(X_{n}+c)^{-}\leq X_{n}+c+X_{n}^{-}1_{\{X_{n}^{-}>c\}},

tenemos

\mathbb {E} [(X_{n}+c)^{+}\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+c+\varepsilon

casi con seguridad,

por eso

\mathbb {E} [X\,|\,{\mathcal {G}}]\leq \liminf _{n\to \infty }\mathbb {E} [X_{n}\,|\,{\mathcal {G}}]+\varepsilon

casi con seguridad.

Esto implica la afirmación.

Referencias

↑ Feinberg, EA; Kasyanov, PO; Liang, Y. (2020). "El lema de Fatou para medidas débilmente convergentes bajo la condición de integrabilidad uniforme" . Theory of Probability & Its Applications . 64 (4): 615– 630. arXiv : 1807.07931 . doi : 10.1137/S0040585X97T989738 . ISSN 0040-585X .
↑ Feinberg; Kasyanov; Zgurovsky (2016). "Lema uniforme de Fatou". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 444 : 550–567 .

Carothers, NL (2000). Análisis real . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 321-322 . ISBN 0-521-49756-6.
Royden, HL (1988). Análisis real (3.ª ed.). Londres: Collier Macmillan. ISBN 0-02-404151-3.
Weir, Alan J. (1973). «Los teoremas de convergencia». Integración y medida de Lebesgue . Cambridge: Cambridge University Press. pp. 93–118 . ISBN 0-521-08728-7.

[1] Feinberg, EA; Kasyanov, PO; Liang, Y. (2020). "El lema de Fatou para medidas débilmente convergentes bajo la condición de integrabilidad uniforme" . Theory of Probability & Its Applications . 64 (4): 615– 630. arXiv : 1807.07931 . doi : 10.1137/S0040585X97T989738 . ISSN 0040-585X .

[2] Feinberg; Kasyanov; Zgurovsky (2016). "Lema uniforme de Fatou". Journal of Mathematical Analysis and Applications . 444 : 550–567 .

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