Matemáticas inversas

La mayor parte de la investigación en matemáticas inversas se centra en subsistemas de la aritmética de segundo orden . El conjunto de investigaciones en matemáticas inversas ha establecido que los subsistemas débiles de la aritmética de segundo orden son suficientes para formalizar casi todas las matemáticas de nivel universitario. En la aritmética de segundo orden, todos los objetos pueden representarse como números naturales o conjuntos de números naturales. Por ejemplo, para demostrar teoremas sobre números reales, estos pueden representarse como sucesiones de Cauchy de números racionales , cada una de las cuales puede representarse como un conjunto de números naturales. ^{[ 6 ]}

Los sistemas axiomáticos más comúnmente considerados en matemáticas inversas se definen mediante esquemas axiomáticos denominados esquemas de comprensión . Dicho esquema establece que existe cualquier conjunto de números naturales definible por una fórmula de una complejidad dada. En este contexto, la complejidad de las fórmulas se mide utilizando la jerarquía aritmética y la jerarquía analítica . ^{[ 7 ]}

La razón por la que las matemáticas inversas no se realizan utilizando la teoría de conjuntos como sistema base es que el lenguaje de la teoría de conjuntos es demasiado expresivo. ^{[ 8 ]} Conjuntos extremadamente complejos de números naturales pueden definirse mediante fórmulas simples en el lenguaje de la teoría de conjuntos (que puede cuantificar sobre conjuntos arbitrarios). En el contexto de la aritmética de segundo orden, resultados como el teorema de Post establecen un vínculo estrecho entre la complejidad de una fórmula y la (no)computabilidad del conjunto que define.

Otro efecto del uso de la aritmética de segundo orden es la necesidad de restringir los teoremas matemáticos generales a formas que puedan expresarse dentro de la aritmética. Por ejemplo, la aritmética de segundo orden puede expresar el principio "Todo espacio vectorial numerable tiene una base", pero no puede expresar el principio "Todo espacio vectorial tiene una base". En términos prácticos, esto significa que los teoremas de álgebra y combinatoria se restringen a estructuras numerables, mientras que los teoremas de análisis y topología se restringen a espacios separables . ^{[ 9 ]} Muchos principios que implican el axioma de elección en su forma general (como "Todo espacio vectorial tiene una base") se vuelven demostrables en subsistemas débiles de la aritmética de segundo orden cuando se restringen. Por ejemplo, "todo cuerpo tiene una clausura algebraica" no es demostrable en la teoría de conjuntos ZF, pero la forma restringida "todo cuerpo numerable tiene una clausura algebraica" es demostrable en RCA ₀ , el sistema más débil que se emplea típicamente en matemáticas inversas. ^{[ 10 ]}

Una línea de investigación reciente en matemáticas inversas de orden superior , iniciada por Ulrich Kohlenbach en 2005, se centra en subsistemas de aritmética de orden superior . ^{[ 11 ]} Debido al lenguaje más rico de la aritmética de orden superior, el uso de representaciones (también conocidas como "códigos") comunes en la aritmética de segundo orden se reduce considerablemente. Por ejemplo, una función continua en el espacio de Cantor es simplemente una función que mapea secuencias binarias a secuencias binarias y que también satisface la definición usual de continuidad "épsilon-delta".

Las matemáticas inversas de orden superior incluyen versiones de orden superior de esquemas de comprensión (de segundo orden). Un axioma de orden superior establece la existencia de un funcional que decide la verdad o falsedad de fórmulas de una complejidad dada. En este contexto, la complejidad de las fórmulas también se mide utilizando la jerarquía aritmética y la jerarquía analítica . Las contrapartes de orden superior de los principales subsistemas de la aritmética de segundo orden generalmente demuestran las mismas oraciones de segundo orden (o un gran subconjunto) que los sistemas originales de segundo orden. ^{[ 12 ]} Por ejemplo, la teoría base de las matemáticas inversas de orden superior, llamada RCA ^ω ₀ , demuestra las mismas oraciones que RCA ₀ , salvo el lenguaje.

Como se señaló en el párrafo anterior, los axiomas de comprensión de segundo orden se generalizan fácilmente al marco de orden superior. Sin embargo, los teoremas que expresan la compacidad de los espacios básicos se comportan de manera bastante diferente en la aritmética de segundo y orden superior: por un lado, cuando se restringe a recubrimientos numerables/el lenguaje de la aritmética de segundo orden, la compacidad del intervalo unitario es demostrable en WKL ₀ de la siguiente sección. Por otro lado, dados recubrimientos no numerables/el lenguaje de la aritmética de orden superior, la compacidad del intervalo unitario solo es demostrable a partir de la aritmética de segundo orden (completa). ^{[ 13 ]} Otros lemas de recubrimiento (por ejemplo, debido a Lindelöf , Vitali , Besicovitch , etc.) exhiben el mismo comportamiento, y muchas propiedades básicas de la integral de calibre son equivalentes a la compacidad del espacio subyacente.

RCA ₀ es el fragmento de aritmética de segundo orden cuyos axiomas son los axiomas de la aritmética de Robinson , el esquema de axiomas de inducción para fórmulas Σ ⁰ ₁ y el esquema de axiomas de comprensión para fórmulas Δ ⁰ ₁ (también llamado comprensión recursiva). ^{[ 18 ]}

El${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-estados del esquema del axioma de inducción$${\displaystyle \quad {\big [}\varphi (0)\land \forall x{\big (}\varphi (x)\to \varphi (x+1){\big )}{\big ]}\to \forall x\ \varphi (x)}$$a pesar de${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-fórmulas${\displaystyle \varphi }$que no cuantifican sobre variables de conjunto. Más explícitamente, estas son fórmulas de la forma$${\displaystyle \exists x_{1}\exists x_{2}\cdots \exists x_{n}\phi }$$dónde${\displaystyle \phi }$es un${\displaystyle \Delta _{0}^{0}}$-fórmula que puede incluir variables de conjunto. En otras palabras,${\displaystyle \varphi }$se obtiene comenzando con una fórmula sin cuantificadores que puede involucrar variables de primer y segundo orden, luego agregando cuantificadores acotados sobre las variables de primer orden y, finalmente, agregando cuantificadores existenciales sobre las variables de primer orden. ^{[ 19 ]}

El${\displaystyle \Delta _ {1}^{0}}$-El esquema del axioma de comprensión establece que$${\displaystyle \forall n[\psi (n)\leftrightarrow \varphi (n)]\to \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$$a pesar de${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$-fórmulas${\displaystyle \psi }$y todo${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-fórmulas${\displaystyle \varphi }$. ^{[ 18 ]}

El subsistema RCA ₀ es el más comúnmente utilizado como sistema base para matemáticas inversas. ^{[ 18 ]} Las iniciales "RCA" significan "axioma de comprensión recursiva", donde "recursivo" significa "computable", como en función computable . Este nombre se usa porque RCA ₀ corresponde informalmente a "matemáticas computables". En particular, cualquier conjunto de números naturales que se pueda demostrar que existe en RCA ₀ es computable, ^{[ 18 ]} y por lo tanto cualquier teorema que implique que existen conjuntos no computables no es demostrable en RCA _0. En este sentido, RCA ₀ es un sistema constructivo, aunque no cumple con los requisitos del programa del constructivismo porque es una teoría en lógica clásica que incluye la ley del tercero excluido .

A pesar de su aparente debilidad (al no demostrar la existencia de conjuntos no computables), RCA ₀ es suficiente para demostrar varios teoremas clásicos que, por lo tanto, requieren una mínima fuerza lógica. Estos teoremas están, en cierto sentido, fuera del alcance de la matemática inversa, ya que son demostrables en el sistema base. Los teoremas clásicos demostrables en RCA ₀ incluyen:

• Propiedades básicas de los números naturales, enteros y racionales (por ejemplo, que estos últimos forman un cuerpo ordenado ).
• Propiedades básicas de los números reales (los números reales son un cuerpo ordenado arquimediano ; cualquier secuencia anidada de intervalos cerrados cuyas longitudes tienden a cero tiene un único punto en su intersección; los números reales no son numerables). ^{[ 20 ]}
• El teorema de la categoría de Baire para un espacio métrico separable completo (la condición de separabilidad es necesaria incluso para enunciar el teorema en el lenguaje de la aritmética de segundo orden). ^{[ 21 ]}
• El teorema del valor intermedio en funciones reales continuas. ^{[ 22 ]}
• El teorema de Banach-Steinhaus para una sucesión de operadores lineales continuos en espacios de Banach separables. ^{[ 23 ]}
• Una versión débil del teorema de completitud de Gödel (para un conjunto de oraciones, en un lenguaje numerable, que ya es cerrado bajo consecuencia).
• La existencia de una clausura algebraica para un cuerpo numerable (pero no su unicidad). ^{[ 24 ]}
• La existencia y unicidad del cierre real de un cuerpo ordenado numerable. ^{[ 25 ]}

La parte de primer orden de RCA ₀ (los teoremas del sistema que no involucran ninguna variable de conjunto) es el conjunto de teoremas de la aritmética de Peano de primer orden con inducción limitada a fórmulas Σ ⁰ _1. ^{[ 26 ]} Es demostrablemente consistente, al igual que RCA ₀ , en la aritmética de Peano completa de primer orden.

El subsistema WKL ₀ consta de RCA ₀ más una forma débil del lema de Kőnig , a saber, la afirmación de que todo subárbol infinito del árbol binario completo (el árbol de todas las secuencias finitas de 0 y 1) tiene un camino infinito. Esta proposición, conocida como lema débil de Kőnig , es fácil de enunciar en el lenguaje de la aritmética de segundo orden. ^{[ 27 ]}

En aritmética de primer orden, WKL ₀ se define más fácilmente añadiendo el esquema axiomático de separación Σ ⁰ ₁ : dadas dos fórmulas Σ ⁰ ₁ de una variable libre n que son excluyentes, existe un conjunto que contiene todos los n que satisfacen una y ningún n que satisface la otra. En símbolos:$${\displaystyle \forall n\neg [\varphi (n)\land \psi (n)]\to \exists X\forall n[(\varphi (n)\to n\in X)\land (\psi (n)\to n\not \in X)]}$$a pesar de${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-fórmulas${\displaystyle \varphi,\psi}$. ^{[ 27 ]}

La terminología es algo confusa, ya que el lema débil de Kőnig en sí, como esquema axiomático, también se escribe como WKL, mientras que WKL ₀ representa un sistema, no una variante del esquema axiomático WKL. ^{[ 27 ]}

(La parte de primer orden de RCA ₀ ) + (${\displaystyle \Delta _{0}^{0}}$-comprensión) + (${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-separación) juntos implica (${\displaystyle \Delta _ {1}^{0}}$-comprensión). ^{[ 1 ] : Lema IV.4.4}

En cierto sentido, el lema débil de Kőnig es una forma del axioma de elección (aunque, como se indicó, puede demostrarse en la teoría clásica de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). No es constructivamente válido en algunos sentidos de la palabra "constructivo". ^{[ 28 ]}

Para demostrar que WKL ₀ es en realidad más fuerte que (no demostrable en) RCA ₀ , observe que WKL ₀ implica la existencia de conjuntos separadores para conjuntos recursivamente enumerables computacionalmente inseparables . En particular, uno puede simplemente escribir dos${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-fórmulas${\displaystyle \varphi,\psi}$que definen tales dos conjuntos, entonces WKL ₀ prueba que existe algún${\displaystyle X}$que los separa, mientras que el modelo estándar de RCA ₀ contiene solo conjuntos computables y, por lo tanto, no existe tal conjunto separador. ^{[ 29 ]}

Resulta que RCA ₀ y WKL ₀ tienen la misma parte de primer orden, lo que significa que demuestran las mismas proposiciones de primer orden. Sin embargo, WKL ₀ puede demostrar un buen número de resultados matemáticos clásicos que no se derivan de RCA _0. Estos resultados no se pueden expresar como proposiciones de primer orden, pero sí como proposiciones de segundo orden. ^{[ 28 ]}

Los siguientes resultados son equivalentes al lema débil de Kőnig y, por lo tanto, a WKL ₀ sobre RCA ₀ :

• El teorema de Heine-Borel para el intervalo real unitario cerrado, en el siguiente sentido: toda cobertura mediante una sucesión de intervalos abiertos tiene una subcobertura finita.
• El teorema de Heine-Borel para espacios métricos separables, completos y totalmente acotados (donde la cobertura se realiza mediante una secuencia de bolas abiertas).
• Una función real continua en el intervalo unitario cerrado (o en cualquier espacio métrico compacto separable, como se indicó anteriormente) está acotada (o: está acotada y alcanza sus límites).
• Una función real continua en el intervalo unitario cerrado puede aproximarse uniformemente mediante polinomios (con coeficientes racionales).
• Una función real continua en el intervalo unitario cerrado es uniformemente continua.
• Una función real continua en el intervalo unitario cerrado es integrable de Riemann .
• El teorema del punto fijo de Brouwer (para funciones continuas en un n -símplex). ^{[ 30 ]}
• El teorema separable de Hahn-Banach se formula de la siguiente manera: una forma lineal acotada en un subespacio de un espacio de Banach separable se extiende a una forma lineal acotada en todo el espacio.
• El teorema de la curva de Jordan .
• Teorema de completitud de Gödel (para un lenguaje numerable).
• Determinación para juegos abiertos (o incluso clopen) en {0, 1} de longitud ω.
• Todo anillo conmutativo numerable tiene un ideal primo .
• Todo cuerpo contable formalmente real es ordenable.
• Unicidad del cierre algebraico (para un cuerpo numerable).
• El teorema de De Bruijn–Erdős para grafos numerables: todo grafo numerable cuyos subgrafos finitos son k -coloreables es k -coloreable. ^{[ 31 ]}

El sistema ACA ₀ añade a RCA ₀ el esquema de comprensión para fórmulas aritméticas, también llamado axioma de comprensión aritmética (aunque es un esquema axiomático). Es decir, ACA ₀ nos permite formar el conjunto de números naturales que satisfacen una fórmula aritmética arbitraria (una sin variables de conjunto ligadas, aunque posiblemente contenga parámetros de conjunto). ^{[ 32 ]} Una fórmula aritmética es una fórmula donde las variables de conjunto pueden aparecer como parámetros, pero no cuantificadas. En otras palabras, es la unión${\displaystyle \cup _{n=0}^{\infty }\Sigma _{n}^{0}}$.

En símbolos:$${\displaystyle \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$$para todas las fórmulas aritméticas${\displaystyle \varphi }$. También posee el axioma de inducción restringida (no un esquema axiomático):$${\displaystyle 0\in X\to \forall n[n\in X\to n+1\in X]\to \forall n(n\in X)}$$Esto es menos restringido en comparación con el${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-Esquema del axioma de inducción utilizado en WKL ₀ y RCA ₀ , pero aún restringido en comparación con el esquema completo del axioma de inducción:$${\displaystyle \varphi (0)\to \forall n[\varphi (n)\to \varphi (n+1)]\to \forall n[\varphi (n)]}$$para todas las fórmulas${\displaystyle \varphi }$en aritmética de segundo orden. Específicamente, el esquema completo del axioma de inducción no es necesariamente derivable, porque ACA ₀ puede ser incapaz de demostrar que${\displaystyle \varphi }$se puede comprender. Es decir, hay algunas fórmulas${\displaystyle \varphi }$, de tal manera que${\displaystyle \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$no es demostrable en ACA ₀ .

De hecho, basta con añadir a RCA ₀ el esquema de comprensión para${\displaystyle \Sigma _{1}^{0}}$-fórmulas, ya que entonces se puede tomar la negación lógica para obtener comprensión para${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$-fórmulas, e iterar esto para obtener la comprensión de todos los niveles en la jerarquía aritmética. ^{[ 33 ]}

La parte de primer orden de ACA ₀ es exactamente la aritmética de Peano de primer orden. En otras palabras, ACA ₀ es una extensión conservadora de la aritmética de Peano de primer orden. ^{[ 34 ]} Los dos sistemas son demostrablemente equiconsistentes (en un sistema débil). ACA ₀ puede considerarse un marco de matemáticas predicativas , aunque existen teoremas demostrables predicativamente que no son demostrables en ACA _0. La mayoría de los resultados fundamentales sobre los números naturales, y muchos otros teoremas matemáticos, pueden demostrarse en este sistema.

Una forma de ver que ACA ₀ es más fuerte que WKL ₀ es exhibir un modelo de WKL ₀ que no contenga todos los conjuntos aritméticos. De hecho, es posible construir un modelo de WKL ₀ que consista enteramente en conjuntos bajos usando el teorema de la base baja , ya que los conjuntos bajos en relación con otros conjuntos bajos son bajos.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes a ACA ₀ sobre RCA ₀ :

• La completitud secuencial de los números reales (toda secuencia creciente acotada de números reales tiene un límite). ^{[ 35 ]}
• El teorema de Bolzano-Weierstrass . ^{[ 35 ]}
• Teorema de Ascoli : toda sucesión equicontinua y acotada de funciones reales en el intervalo unitario tiene una subsucesión uniformemente convergente.
• Todo cuerpo numerable se incrusta isomórficamente en su clausura algebraica. ^{[ 36 ]}
• Todo anillo conmutativo numerable tiene un ideal maximal . ^{[ 37 ]}
• Todo espacio vectorial numerable sobre los racionales (o sobre cualquier cuerpo numerable) tiene una base. ^{[ 38 ]}
• Para cualesquiera cuerpos numerables K ⊆ L , existe una base de trascendencia para L sobre K . ^{[ 39 ]}
• Lema de Kőnig (para árboles arbitrarios con ramificación finita, a diferencia de la versión débil descrita anteriormente). ^{[ 40 ]}
• Para cualquier grupo numerable G y cualesquiera subgrupos H , I de G , existe el subgrupo generado por H ∪ I. ^{[ 41 ] pág.  40}
• Cualquier función parcial puede extenderse a una función total. ^{[ 42 ]}
• Lema de Higman . ^{[ 43 ]}
• Varios teoremas en combinatoria, como ciertas formas del teorema de Ramsey . ^{[ 44 ] [ 40 ]}

El sistema ATR ₀ añade a ACA ₀ un esquema axiomático denominado recursión transfinita aritmética. De manera informal, establece que cualquier funcional aritmético puede iterarse de forma transfinita a lo largo de cualquier ordenación de pozo numerable , partiendo de cualquier conjunto.

El esquema axiomático de la recursión transfinita aritmética tiene un axioma por fórmula aritmética.${\displaystyle \theta (n,Z,{\vec {x}},{\vec {X}})}$El axioma establece que: Si${\displaystyle (A,<_{A})}$es un conjunto bien ordenado, entonces existe algún${\displaystyle Y}$, que es un conjunto indexado por${\displaystyle A}$obtenido mediante una inducción bien ordenada en${\displaystyle A}$:

• El conjunto completo es${\displaystyle Y=\{(n,a):a\in A,n\in Y_{a}\}}$Cada entrada indexada tiene el siguiente formato:${\displaystyle Y_{a}=\{n\in \mathbb {N}$ :(n,a)\in Y\}} . Cada segmento inicial tiene la forma${\displaystyle Y^{a}=\{(n,b):b\in A,b<_{A}a,n\in Y_{b}\}}$.
  • En particular, el segmento inicial más bajo está vacío:${\displaystyle Y^{\min A}=\emptyset }$.
• La inducción bien ordenada comienza en${\displaystyle Y^{\min A}=\emptyset }$y procede por inducción:$${\displaystyle Y_{a}=\{n\in \mathbb {N}$$ :\theta (n,Y^{a},{\vec {x}},{\vec {X}})\}}

ATR ₀ es equivalente sobre ACA ₀ al principio de separación Σ ¹ _1. ATR ₀ es impredicativo y tiene el ordinal de la teoría de la demostración Γ ₀ , el supremo del de los sistemas predicativos.

ATR ₀ prueba la consistencia de ACA ₀ y, por lo tanto, según el teorema de Gödel, es estrictamente más fuerte.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes a ATR ₀ sobre RCA ₀ :

• Dos ordenamientos de pozos numerables cualesquiera son comparables. Es decir, son isomorfos o uno es isomorfo a un segmento inicial propio del otro. ^{[ 45 ]}
• Teorema de Ulm para grupos abelianos reducidos numerables.
• El teorema del conjunto perfecto , que establece que todo subconjunto cerrado no numerable de un espacio métrico separable completo contiene un conjunto cerrado perfecto.
• Teorema de separación de Lusin (esencialmente separación Σ ¹ _{1 ).} ^{[ 46 ]}
• Determinación para conjuntos abiertos en el espacio de Baire .

Π ¹ ₁ -CA ₀ es más fuerte que la recursión transfinita aritmética y es totalmente impredicativa. Consiste en RCA ₀ , más el axioma de inducción.$${\displaystyle 0\in X\to \forall n[n\in X\to n+1\in X]\to \forall n(n\in X)}$$más el esquema de comprensión para las fórmulas Π ¹ ₁ .

A${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-la fórmula es de la forma${\displaystyle \forall X\theta }$, dónde${\displaystyle \theta }$es una fórmula aritmética.${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$La comprensión es el esquema axiomático que establece$${\displaystyle \exists X\forall n[n\in X\leftrightarrow \varphi (n)]}$$a pesar de${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$-fórmulas${\displaystyle \varphi }$.

En cierto sentido, la comprensión Π ¹ ₁ -CA ₀ es a la recursión transfinita aritmética ( separación Σ ¹ _{1 ) como ACA 0} es al lema débil de Kőnig ( separación Σ ⁰ ₁ ). Es equivalente a varias afirmaciones de la teoría descriptiva de conjuntos cuyas demostraciones utilizan argumentos fuertemente impredicativos; esta equivalencia muestra que estos argumentos impredicativos no pueden eliminarse.

Los siguientes teoremas son equivalentes a Π ¹ ₁ -CA ₀ sobre RCA ₀ :

• El teorema de Cantor-Bendixson (todo conjunto cerrado de números reales es la unión de un conjunto perfecto y un conjunto numerable). ^{[ 47 ]}
• La dicotomía de Silver (toda relación de equivalencia coanalítica tiene o bien un número numerable de clases de equivalencia o bien un conjunto perfecto de incomparables) ^{[ 48 ]}
• Todo grupo abeliano numerable es la suma directa de un grupo divisible y un grupo reducido. ^{[ 49 ]}
• Determinación para Σ ⁰ ₁${\displaystyle \wedge }$Π ⁰ ₁ juegos. ^{[ 50 ]}

Al añadir el esquema completo del axioma de inducción de segundo orden a RCA ₀ se obtiene RCA, el sistema de aritmética de comprensión recursiva con inducción no restringida. De manera similar, al añadir el esquema completo del axioma de inducción de segundo orden a WKL ₀ se obtiene WKL, etc.

Sobre RCA ₀ , la recursión transfinita Π ¹ ₁ , la determinabilidad ∆ ⁰ ₂ y el teorema de Ramsey ∆ ¹ ₁ son todos equivalentes entre sí.

Sobre RCA ₀ , la inducción monótona Σ ¹ ₁ , la determinación Σ ⁰ ₂ y el teorema de Ramsey Σ ¹ ₁ son todos equivalentes entre sí.

Los siguientes son equivalentes: ^{[ 51 ] [ 52 ]}

• (esquema) Π ¹ ₃ consecuencias de Π ¹ ₂ -CA ₀
• Determinación RCA ₀ + (esquema sobre n finito ) en el n -ésimo nivel de la jerarquía de diferencias de Σ ⁰ ₂ conjuntos
• RCA ₀ + { τ : τ es una oración S2S verdadera }

El conjunto de consecuencias Π ¹ ₃ de la aritmética de segundo orden Z ₂ tiene la misma teoría que la determinabilidad RCA ₀ + (esquema sobre n finito ) en el n -ésimo nivel de la jerarquía de diferencias de los conjuntos Σ ⁰ _3. ^{[ 53 ]}

Para un conjunto parcialmente ordenado P , sea MF( P ) el espacio topológico formado por los filtros en P cuyos conjuntos abiertos son conjuntos de la forma { F ∈ MF( P ) | p ∈ F } para algún p ∈ P . La siguiente afirmación es equivalente a${\displaystyle \Pi _{2}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$encima${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$: para cualquier poset numerable P , el espacio topológico MF( P ) es completamente metrizable si y solo si es regular . ^{[ 54 ]}