Estrés de Reynolds

En dinámica de fluidos , la tensión de Reynolds es el componente del tensor de tensión total en un fluido que se obtiene a partir de la operación de promediado sobre las ecuaciones de Navier-Stokes para tener en cuenta las fluctuaciones turbulentas en el momento del fluido .

El campo de velocidad de un flujo se puede dividir en una parte media y una parte fluctuante utilizando la descomposición de Reynolds . Escribimos:

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u_{i}',\,}$

con${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$siendo el vector de velocidad del flujo que tiene componentes${\displaystyle u_{i}}$en el${\displaystyle x_{i}}$dirección de coordenadas (con${\displaystyle x_{i}}$que denotan las componentes del vector de coordenadas${\displaystyle \mathbf {x} }$). Las velocidades medias${\displaystyle {\overline {u_ {i}}}}$se determinan mediante promediado temporal , promediado espacial o promediado de conjunto , dependiendo del flujo en estudio. Además${\displaystyle u'_{i}}$denota la parte fluctuante (turbulencia) de la velocidad.

Consideramos un fluido homogéneo, cuya densidad ρ se toma como constante. Para dicho fluido, los componentes τ' _ij del tensor de esfuerzos de Reynolds se definen como:

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

Otra definición, frecuentemente utilizada, de los componentes de la tensión de Reynolds para densidad constante es:

${\displaystyle \tau ''_{ij}\equiv {\overline {u'_{i}\,u'_{j}}},\,}$

que tiene las dimensiones de velocidad al cuadrado, en lugar de tensión.

Para ilustrarlo, se utiliza la notación de índices de vectores cartesianos . Para simplificar, consideremos un fluido incompresible :

Dada la velocidad del fluido${\displaystyle u_{i}}$En función de la posición y el tiempo, escriba la velocidad media del fluido como:${\displaystyle {\overline {u_ {i}}}}$y la fluctuación de velocidad es${\displaystyle u'_{i}}$. Entonces${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}}+u'_{i}}$.

Las reglas convencionales de promediado de conjuntos son que

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\bar {a}}}&={\bar {a}},\\{\overline {a+b}}&={\bar {a}}+{\bar {b}},\\{\overline {a{\bar {b}}}}&={\bar {a}}{\bar {b}}.\end{aligned}}}$

Se dividen las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) o las ecuaciones de Navier-Stokes en una parte promedio y una parte fluctuante. Se encuentra que al promediar las ecuaciones de fluidos, aparece una tensión en el lado derecho de la forma${\displaystyle \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$. Esta es la tensión de Reynolds, escrita convencionalmente${\displaystyle R_{ij}}$:

${\displaystyle R_{ij}\ \equiv \ \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}$

La divergencia de esta tensión es la densidad de fuerza sobre el fluido debido a las fluctuaciones turbulentas.

Por ejemplo, para un fluido newtoniano viscoso e incompresible , las ecuaciones de continuidad y momento —las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles— pueden escribirse (en forma no conservativa) como

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right),}$

dónde${\displaystyle D/Dt}$es la derivada lagrangiana o la derivada sustancial ,

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

Al definir las variables de flujo anteriores con un componente promediado en el tiempo y un componente fluctuante, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en:

${\displaystyle {\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Al examinar uno de los términos del lado izquierdo de la ecuación de momento, se observa que

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}},}$

donde el último término del lado derecho se anula como resultado de la ecuación de continuidad. En consecuencia, la ecuación de momento se convierte en

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}\right].}$

Ahora se promediarán las ecuaciones de continuidad y momento. Es necesario emplear las reglas de promediado de conjunto, teniendo en cuenta que el promedio de productos de cantidades fluctuantes no se anulará en general. Después del promedio, las ecuaciones de continuidad y momento se convierten en:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0,}$

y

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Al aplicar la regla del producto a uno de los términos del lado izquierdo, se revela que

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

donde el último término del lado derecho se anula como resultado de la ecuación de continuidad promediada. La ecuación de momento promediada ahora se convierte, después de una reordenación:

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

donde Reynolds enfatiza,${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$, se recopilan con los términos de esfuerzo normal y cortante viscoso ,${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$.

La ecuación de evolución temporal de la tensión de Reynolds fue dada por primera vez por la ecuación (1.6) en el artículo de Zhou Peiyuan . ^{[ 1 ]} La ecuación en forma moderna es $${\displaystyle \underbrace {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial t}} _{\rm {storage}}+\!\!\underbrace {{\bar {u}}_{k}{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {mean~advection}}=-\ \underbrace {{\overline {u_{i}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{k}}}-{\overline {u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}{\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{k}}}} _{\rm {shear~production}}+\underbrace {\overline {{\frac {p^{\prime }}{\rho }}\left({\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{i}}}\right)}} _{\rm {pressure-scrambling}}-\underbrace {{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left({\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }u_{k}^{\prime }}}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{i}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{jk}+{\frac {\overline {p^{\prime }u_{j}^{\prime }}}{\rho }}\delta _{ik}-\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{k}}}\right)} _{\rm {transport~terms}}-2\nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}},}$$ dónde${\displaystyle \nu }$es la viscosidad cinemática y el último término${\displaystyle \nu {\overline {{\tfrac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\tfrac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$es la tasa de disipación turbulenta. Esta ecuación es muy compleja. Si${\displaystyle {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$Se traza y se obtiene la energía cinética de la turbulencia . El término de mezcla de presión se denomina así porque este término (también llamado covarianza presión-deformación) no tiene traza bajo el supuesto de incompresibilidad, lo que significa que no puede crear ni destruir energía cinética de la turbulencia, sino que solo puede mezclarla entre las tres componentes de la velocidad. Dependiendo de la aplicación, esta ecuación también puede incluir términos de producción de flotabilidad (proporcionales a la aceleración gravitatoria).${\displaystyle g}$) y términos de producción de Coriolis (proporcionales a la velocidad de rotación de la Tierra); estos estarían presentes en aplicaciones atmosféricas, por ejemplo.

La pregunta entonces es: ¿cuál es el valor de la tensión de Reynolds? Este ha sido objeto de intensos estudios y modelización durante aproximadamente el último siglo. El problema se reconoce como un problema de cierre , similar al problema de cierre en la jerarquía BBGKY . Se puede obtener una ecuación de transporte para la tensión de Reynolds tomando el producto exterior de las ecuaciones de fluidos para la velocidad fluctuante consigo misma.

Se observa que la ecuación de transporte para la tensión de Reynolds incluye términos con correlaciones de orden superior (específicamente, la correlación triple).${\displaystyle {\overline {v'_{i}v'_{j}v'_{k}}}}$) así como correlaciones con fluctuaciones de presión (es decir, momento transportado por ondas sonoras). Una solución común es modelar estos términos mediante prescripciones ad hoc sencillas.

La teoría de la tensión de Reynolds es bastante análoga a la teoría cinética de los gases , y de hecho, el tensor de tensión en un fluido en un punto puede considerarse como el promedio de conjunto de la tensión debida a las velocidades térmicas de las moléculas en un punto dado del fluido. Así, por analogía, a veces se piensa que la tensión de Reynolds consta de una parte de presión isotrópica, denominada presión turbulenta, y una parte no diagonal que puede considerarse como una viscosidad turbulenta efectiva.

De hecho, si bien se ha invertido mucho esfuerzo en desarrollar buenos modelos para la tensión de Reynolds en un fluido, en la práctica, al resolver las ecuaciones del fluido mediante dinámica de fluidos computacional , a menudo los modelos de turbulencia más simples resultan ser los más efectivos. Una clase de modelos, estrechamente relacionados con el concepto de viscosidad turbulenta, son los modelos de turbulencia k-epsilon , basados ​​en ecuaciones de transporte acopladas para la densidad de energía turbulenta.${\displaystyle k}$(similar a la presión turbulenta, es decir, la traza de la tensión de Reynolds) y la tasa de disipación turbulenta${\displaystyle \epsilon }$.

Por lo general, el promedio se define formalmente como un promedio de conjunto, como en la teoría estadística de conjuntos . Sin embargo, en la práctica, también puede considerarse como un promedio espacial sobre una escala de longitud determinada o como un promedio temporal. Cabe señalar que, si bien la conexión entre dichos promedios se justifica formalmente en la mecánica estadística de equilibrio mediante el teorema ergódico , la mecánica estadística de la turbulencia hidrodinámica aún está lejos de comprenderse por completo. De hecho, la tensión de Reynolds en cualquier punto de un fluido turbulento está sujeta a interpretación, dependiendo de cómo se defina el promedio.