Richard S. Pierce

Según el prefacio, el libro pretende ofrecer una presentación sistemática de los resultados básicos del álgebra universal , un aspecto ausente en la literatura publicada, a excepción de los libros de P. M. Cohn (1965) y George Grätzer (1967), ambos titulados « Álgebra Universal» . El alcance incluye «álgebras parciales con operaciones o relaciones (posiblemente) infinitas... se procura presentar todos los resultados con el máximo grado de generalidad». Cuatro capítulos presentan cada uno un teorema en particular : el teorema de descomposición subdirecta, el teorema de Øystein Ore sobre la unicidad de la descomposición directa, un teorema de existencia para extensiones libres y el teorema de variedades de Birkhoff . En cuanto a los ejercicios, «parte del material presentado en los problemas es reciente, y algunos de los resultados no se han publicado anteriormente». Con una atención significativa a los retículos , un título alternativo para el libro sería «Introducción a la teoría y los usos de los retículos». Pierce afirma: "Esta monografía se elaboró ​​a partir de conferencias impartidas a lo largo de varios años", y reconoce una década de apoyo de la Universidad de Washington y la Fundación Nacional de Ciencias .

La primera página comienza: "La teoría de las álgebras abstractas está lo suficientemente cerca de los fundamentos de las matemáticas como para que se deba tener cierto cuidado al usar la teoría de conjuntos ". Se cita la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , con clase y conjunto como nociones primitivas . Una clase es la totalidad de las cosas que satisfacen una propiedad, y un conjunto es una clase de objetos específicos. Escribe que las clases propias son "tan enormes que la intuición es incapaz de asignarles una magnitud". Después de definir una relación binaria y su dominio, define una aplicación parcial φ como una relación en la que${\displaystyle <a,b>\in \phi \ {\text{y}}\ <a,c>\in \phi \ {\text{implica}}\ a=b.}$Entonces, una aplicación parcial φ en A x B cuyo dominio es todo A es una aplicación o función . "La definición es exacta y conveniente para todos los usos matemáticos." (página 3)

La restricción de una relación a un subconjunto A ₁ de A incluye <a,b> en φ solo si a está en A ₁ . El axioma de elección es necesario para demostrar que, si una aplicación φ es sobreyectiva, entonces existe una aplicación ψ tal que la composición de aplicaciones φ ψ es la aplicación identidad en B . (página 5)

Según el prefacio, «los resultados clásicos del tema se exploran con mayor profundidad que en la mayoría de las exposiciones de álgebras asociativas orientadas al estudiante , y se incluyen numerosos avances recientes en la teoría de álgebras». En la primera parte se tratan los teoremas clásicos de Joseph Wedderburn y Emil Artin , y la segunda aborda las álgebras simples centrales y el grupo de Brauer de un cuerpo . El desarrollo sigue el teorema de densidad de Jacobson , el teorema de Skolem-Noether y el teorema del doble centralizador .

El libro está dedicado a Marilyn Pierce, cuya "paciencia e impaciencia mantuvieron el proyecto en marcha desde el principio hasta el final".