Superficie de Richmond

En geometría diferencial , una superficie de Richmond es una superficie mínima descrita por primera vez por Herbert William Richmond en 1904. ^{[ 1 ]} Es una familia de superficies con un extremo plano y un extremo autointersecante similar a una superficie de Enneper .

Tiene parametrización de Weierstrass-Enneper${\displaystyle f(z)=1/z^{2},g(z)=z^{m}}$Esto permite una parametrización basada en un parámetro complejo como

${\displaystyle {\begin{aligned}X(z)&=\Re [(-1/2z)-z^{2m+1}/(4m+2)]\\Y(z)&=\Re [(-i/2z)+iz^{2m+1}/(4m+2)]\\Z(z)&=\Re [z^{m}/m]\end{aligned}}}$

La familia asociada de la superficie es simplemente la superficie rotada alrededor del eje z.

Tomando m  =  2, una expresión paramétrica real se convierte en: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=(1/3)u^{3}-uv^{2}+{\frac {u}{u^{2}+v^{2}}}\\Y(u,v)&=-u^{2}v+(1/3)v^{3}-{\frac {v}{u^{2}+v^{2}}}\\Z(u,v)&=2u\end{aligned}}}$