Función Xi de Riemann

En matemáticas , la función Xi de Riemann es una variante de la función zeta de Riemann y se define de manera que tenga una ecuación funcional particularmente simple . La función recibe su nombre en honor a Bernhard Riemann .

La función "xi" minúscula original de Riemann fue renombrada con una mayúscula ( letra griega "Xi" ) por Edmund Landau . La ("xi" minúscula ) de Landau se define como ^[1]${\estilo de visualización \xi}$${\estilo de visualización ~\Xi ~}$${\estilo de visualización ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

para . Aquí denota la función zeta de Riemann y es la función Gamma . ${\displaystyle s\in \mathbb {C}}$${\displaystyle \zeta(s)}$${\displaystyle \Gamma(s)}$

La ecuación funcional (o fórmula de reflexión ) de Landau es ${\estilo de visualización ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi(1-s)=\xi(s)~.}$

La función original de Riemann, rebautizada en mayúsculas por Landau, ^[1] satisface ${\estilo de visualización ~\Xi ~}$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$,

y obedece a la ecuación funcional

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Ambas funciones son completas y puramente reales para argumentos reales.

La forma general para números enteros pares positivos es

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n} (2n-1)}$

donde B _n denota el n - ésimo número de Bernoulli . Por ejemplo:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

La función tiene la expansión en serie ${\estilo de visualización \xi}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

dónde

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

donde la suma se extiende sobre ρ, los ceros no triviales de la función zeta, en orden de . ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$

Esta expansión juega un papel particularmente importante en el criterio de Li , que establece que la hipótesis de Riemann es equivalente a tener λ _n > 0 para todo n positivo .

Una simple expansión infinita del producto es

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

donde ρ varía sobre las raíces de ξ.

Para asegurar la convergencia en la expansión, el producto debe tomarse sobre "pares coincidentes" de ceros, es decir, los factores para un par de ceros de la forma ρ y 1−ρ deben agruparse.

• Weisstein, Eric W. "Función Xi". MathWorld .
• Keiper, JB (1992). "Expansiones en series de potencias de la función xi de Riemann". Matemáticas de la computación . 58 (198): 765–773. Bibcode :1992MaCom..58..765K. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

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