divisor theta

En matemáticas , el divisor theta Θ es el divisor, en el sentido de la geometría algebraica, definido en una variedad abeliana A sobre los números complejos (y principalmente polarizado ) por el lugar geométrico de los ceros de la función theta de Riemann asociada . Por lo tanto, es una subvariedad algebraica de A de dimensión dim A − 1.

Los resultados clásicos de Bernhard Riemann describen Θ de otra manera, en el caso de que A sea la variedad jacobiana J de una curva algebraica ( superficie de Riemann compacta ) C. Existe, para una elección de punto base P en C , una aplicación estándar de C a J , mediante la interpretación de J como las clases de equivalencia lineal de divisores en C de grado 0. Es decir, Q en C se aplica a la clase de Q − P. Entonces, dado que J es un grupo algebraico , C puede agregarse a sí mismo k veces en J , dando lugar a subvariedades W _k .

Si g es el género de C , Riemann demostró que Θ es una traslación en J de W _{g − 1.} También describió qué puntos en W _{g − 1} no son singulares : corresponden a los divisores efectivos D de grado g − 1 sin funciones meromorfas asociadas distintas de las constantes. En un lenguaje más clásico, estos D no se mueven en un sistema lineal de divisores en C , en el sentido de que no dominan el divisor polar de una función no constante.

Riemann demostró además el teorema de singularidad de Riemann , identificando la multiplicidad de un punto p = clase( D ) en W _{g − 1} como el número de funciones meromorfas linealmente independientes con divisor de polo dominado por D , o equivalentemente como h ⁰ (O( D )), el número de secciones globales linealmente independientes del fibrado de líneas holomorfo asociado a D como divisor de Cartier en C .

El teorema de singularidad de Riemann fue extendido por George Kempf en 1973, ^{[ 1 ]} basándose en el trabajo de David Mumford y Andreotti-Mayer, para describir las singularidades de los puntos p = clase( D ) en W _k para 1 ≤ k ≤ g − 1. En particular, calculó sus multiplicidades también en términos del número de funciones meromorfas independientes asociadas a D ( teorema de singularidad de Riemann-Kempf ). ^{[ 2 ]}

Más precisamente, Kempf mapeó J localmente cerca de p a una familia de matrices provenientes de una secuencia exacta que calcula h ⁰ (O( D )), de tal manera que W _k corresponde al lugar geométrico de matrices de rango menor que el máximo. La multiplicidad entonces coincide con la del punto en el lugar geométrico de rango correspondiente. Explícitamente, si

h ⁰ (O( D )) = r + 1,

La multiplicidad de W _k en la clase ( D ) es el coeficiente binomial

${\displaystyle {g-k+r \choose r}.}$

Cuando k = g − 1, esto es r + 1, la fórmula de Riemann.

• P. Griffiths ; J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. ISBN 0-471-05059-8.