Teorema de extensión de M. Riesz

El teorema de extensión de M. Riesz es un teorema en matemáticas , demostrado por Marcel Riesz ^{[ 1 ]} durante su estudio del problema de los momentos . ^{[ 2 ]}

Dejar${\displaystyle E}$sea ​​un espacio vectorial real ,${\displaystyle F\subset E}$sea ​​un subespacio vectorial y${\displaystyle K\subset E}$ser un cono convexo .

Un funcional lineal${\displaystyle \phi :F\to \mathbb {R} }$se llama${\displaystyle K}$- positivo , si solo toma valores no negativos en el cono${\displaystyle K}$:

${\displaystyle \phi (x)\geq 0\quad {\text{para}}\quad x\in F\cap K.}$

Un funcional lineal${\displaystyle \psi :E\to \mathbb {R} }$se llama un${\displaystyle K}$-extensión positiva de${\displaystyle \phi }$, si es idéntico a${\displaystyle \phi }$en el dominio de${\displaystyle \phi }$y también devuelve un valor de al menos 0 para todos los puntos del cono.${\displaystyle K}$:

${\displaystyle \psi |_{F}=\phi \quad {\text{y}}\quad \psi (x)\geq 0\quad {\text{para}}\quad x\in K.}$

En general, un${\displaystyle K}$-funcional lineal positivo en${\displaystyle F}$no se puede extender a un${\displaystyle K}$-funcional lineal positivo en${\displaystyle E}$. Ya en dos dimensiones se obtiene un contraejemplo. Sea${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{2},\ K=\{(x,y):y>0\}\cup \{(x,0):x>0\},}$y${\displaystyle F}$ser el${\displaystyle x}$eje. El funcional positivo${\displaystyle \phi (x,0)=x}$no se puede extender a un funcional positivo en${\displaystyle E}$.

Sin embargo, la extensión existe bajo el supuesto adicional de que${\displaystyle E\subset K+F,}$es decir, para cada${\displaystyle y\in E,}$existe un${\displaystyle x\in F}$de tal manera que${\displaystyle yx\in K.}$

La demostración es similar a la demostración del teorema de Hahn-Banach (véase también más abajo).

Por inducción transfinita o lema de Zorn , basta con considerar el caso dim ${\displaystyle E/F=1}$.

Elige cualquiera${\displaystyle y\in E\setminus F}$. Colocar

${\displaystyle a=\sup\{\,\phi (x)\mid x\in F,\ yx\in K\,\},\ b=\inf\{\,\phi (x)\mid x\in F,xy\in K\,\}.}$

A continuación demostraremos que${\displaystyle -\infty <a\leq b}$Por ahora, elige cualquiera${\displaystyle c}$satisfactorio${\displaystyle a\leq c\leq b}$y establecer${\displaystyle \psi (y)=c}$,${\displaystyle \psi |_{F}=\phi}$y luego extender${\displaystyle \psi }$a todos${\displaystyle E}$por linealidad. Necesitamos demostrar que${\displaystyle \psi }$es${\displaystyle K}$-positivo. Supongamos${\displaystyle z\in K}$Entonces, o${\displaystyle z=0}$, o${\displaystyle z=p(x+y)}$o${\displaystyle z=p(xy)}$para algunos${\displaystyle p>0}$y${\displaystyle x\in F}$. Si${\displaystyle z=0}$, entonces${\displaystyle \psi (z)>0}$En el primer caso restante${\displaystyle x+y=y-(-x)\in K}$, y entonces

${\displaystyle \psi (y)=c\geq a\geq \phi (-x)=\psi (-x)}$

Por definición. Por lo tanto

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x+y)=p(\psi (x)+\psi (y))\geq 0.}$

En el segundo caso,${\displaystyle xy\in K}$y de manera similar

${\displaystyle \psi (y)=c\leq b\leq \phi (x)=\psi (x)}$

por definición y por lo tanto

${\displaystyle \psi (z)=p\psi (x-y)=p(\psi (x)-\psi (y))\geq 0.}$

En todos los casos,${\displaystyle \psi (z)>0}$, y entonces${\displaystyle \psi }$es${\displaystyle K}$-positivo.

Ahora demostramos que${\displaystyle -\infty <a\leq b}$. Nótese que, por suposición, existe al menos uno${\displaystyle x\in F}$para qué${\displaystyle y-x\in K}$, y entonces${\displaystyle -\infty <a}$Sin embargo, puede darse el caso de que no haya ninguno.${\displaystyle x\in F}$para qué${\displaystyle x-y\in K}$, en cuyo caso${\displaystyle b=\infty }$y la desigualdad es trivial (en este caso observe que el tercer caso anterior no puede ocurrir). Por lo tanto, podemos suponer que${\displaystyle b<\infty }$y hay al menos uno${\displaystyle x\in F}$para qué${\displaystyle x-y\in K}$Para demostrar la desigualdad, basta con mostrar que siempre que${\displaystyle x\in F}$y${\displaystyle y-x\in K}$, y${\displaystyle x'\in F}$y${\displaystyle x'-y\in K}$, entonces${\displaystyle \phi (x)\leq \phi (x')}$. En efecto,

${\displaystyle x'-x=(x'-y)+(y-x)\in K}$

desde${\displaystyle K}$es un cono convexo, y por lo tanto

${\displaystyle 0\leq \phi (x'-x)=\phi (x')-\phi (x)}$

desde${\displaystyle \phi }$es${\displaystyle K}$-positivo.

Sea E un espacio lineal real y sea K ⊂ E un cono convexo . Sea x ∈ E /( − K ) tal que R x + K = E . Entonces existe un funcional lineal K -positivo φ : E → R tal que φ ( x ) > 0.              

El teorema de Hahn-Banach se puede deducir del teorema de extensión de M. Riesz.

Sea V un espacio lineal y sea N una función sublineal en V. Sea φ un funcional en un subespacio U ⊂ V que está dominado por N :  

${\displaystyle \phi (x)\leq N(x),\quad x\in U.}$

El teorema de Hahn - Banach afirma que φ puede extenderse a un funcional lineal en V que está dominado por N.

Para derivar esto del teorema de extensión de M. Riesz, definamos un cono convexo K ⊂ R × V mediante  

${\displaystyle K=\left\{(a,x)\,\mid \,N(x)\leq a\right\}.}$

Definimos un funcional φ ₁ en R × U mediante

${\displaystyle \phi _{1}(a,x)=a-\phi (x).}$

Se puede observar que φ ₁ es K -positivo y que K  +  ( R × U ) = R × V . Por lo tanto, φ ₁ puede extenderse a un funcional K -positivo ψ ₁ en R × V . Entonces      

${\displaystyle \psi (x)=-\psi _{1}(0,x)}$

es la extensión deseada de φ . De hecho, si ψ ( x )  > N ( x ), tenemos: ( N ( x ), x ) ∈ K , mientras que    

${\displaystyle \psi _{1}(N(x),x)=N(x)-\psi (x)<0,}$

lo que lleva a una contradicción.

• Castillo, René E. (2005), "Una nota sobre el teorema de Krein" (PDF) , Lecturas Matemáticas , 26 , archivado del original (PDF) el 1 de febrero de 2014 , consultado el 18 de enero de 2014.
• Riesz, M. (1923), "Sur le problème des moment. III.", Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik (en francés), 17 (16), JFM 49.0195.01 
• Akhiezer, NI (1965), El problema clásico de los momentos y algunas cuestiones relacionadas en análisis , Nueva York: Hafner Publishing Co., MR 0184042