Función de Riesz

En matemáticas , la función de Riesz es una función completa definida por Marcel Riesz en relación con la hipótesis de Riemann , mediante la serie de potencias .

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}x^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=x\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\exp \left({\frac {-x}{n^{2}}}\right).}$

Si lo establecemos, podemos definirlo en términos de los coeficientes del desarrollo de la serie de Laurent de la cotangente hiperbólica (o equivalentemente, la ordinaria) alrededor de cero. Si ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}{\rm {Riesz}}(4\pi ^{2}x)}$

${\displaystyle {\frac {x}{2}}\coth {\frac {x}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}=1+{\frac {1}{12}}x^{2}-{\frac {1}{720}}x^{4}+\cdots }$

entonces puede definirse como ${\estilo de visualización F}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{c_{2k}(k-1)!}}=12x-720x^{2}+15120x^{3}-\cdots }$

Los valores de se acercan a uno para aumentar k, y la comparación de la serie para la función de Riesz con la de muestra que define una función completa. Alternativamente, F puede definirse como ${\displaystyle \zeta(2k)}$${\estilo de visualización x\exp(-x)}$

${\displaystyle F(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k+1}}x^{k}}{B_{2k}}}.\ }$

${\displaystyle n^{\overline {k}}}$denota la potencia factorial ascendente en la notación de DE Knuth y el número es el número de Bernoulli . La serie es una de términos alternados y la función tiende rápidamente a menos infinito para valores cada vez más negativos de . Los valores positivos de son más interesantes y delicados. $Estilo de visualización B_{n}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización x}$

Se puede demostrar que

${\displaystyle \operatorname {Riesz} (x)=O(x^{e})\qquad ({\text{como }}x\to \infty )}$

para cualquier exponente mayor que , donde esta es la notación O mayúscula ; tomando valores tanto positivos como negativos. Riesz demostró que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que lo anterior es cierto para cualquier e mayor que . ^[1] En el mismo artículo, agregó también una nota ligeramente pesimista: « Je ne sais pas acore decidir si cette condition facilitaitera la vérification de l'hypothèse » (Todavía no puedo decidir si esta condición facilitará la verificación de la hipótesis). ${\estilo de visualización e}$${\estilo de visualización 1/2}$${\estilo de visualización 1/4}$

La función de Riesz está relacionada con la función zeta de Riemann a través de su transformada de Mellin . Si tomamos

${\displaystyle {\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))=\int _{0}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{ \frac{dz}{z}}}$

vemos que si entonces ${\displaystyle \Re(s)>-1}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

converge, mientras que de la condición de crecimiento tenemos que si entonces ${\displaystyle \Re(s)<-{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(z)z^{s}{\frac {dz}{z}}}$

converge. Juntando todo esto, vemos que la transformada de Mellin de la función de Riesz está definida en la franja . En esta franja, tenemos (cf. el teorema maestro de Ramanujan )${\displaystyle -1<\Re(s)<-{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)}}={\mathcal {M}}({\rm {Riesz}}(z))}$

A partir de la transformada inversa de Mellin, obtenemos ahora una expresión para la función de Riesz, como

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(z)=\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (s+1)}{\zeta (-2s)} }z^{-s}ds}$

donde c está entre menos uno y menos la mitad. Si la hipótesis de Riemann es verdadera, podemos mover la línea de integración a cualquier valor menor que menos un cuarto, y por lo tanto obtenemos la equivalencia entre la tasa de crecimiento de raíz cuarta para la función de Riesz y la hipótesis de Riemann.

Los coeficientes de la serie de Maclaurin aumentan en valor absoluto hasta que alcanzan su máximo en el término 40 de . En el término 109 han caído por debajo de uno en valor absoluto. Tomar los primeros 1000 términos es suficiente para dar un valor muy preciso para para . Sin embargo, esto requeriría evaluar un polinomio de grado 1000 ya sea utilizando aritmética racional con los coeficientes de numerador o denominador grande, o utilizando cálculos de punto flotante de más de 100 dígitos. Una alternativa es utilizar la transformada inversa de Mellin definida anteriormente e integrar numéricamente. Ninguno de los enfoques es fácil desde el punto de vista computacional. ${\estilo de visualización F}$${\displaystyle -1.753\times 10^{17}}$${\estilo de visualización F(z)}$${\estilo de visualización |z|<9}$

Otro enfoque es utilizar la aceleración de la convergencia. Tenemos

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k -1)!\zeta (2k)}}.}$

Dado que se acerca a uno a medida que k se hace más grande, los términos de esta serie se acercan ${\displaystyle \zeta(2k)}$

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}}{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1)!}}=x\exp(-x)}$De hecho, Riesz señaló que:${\displaystyle \ {\sum _{n=1}^{\infty }{\rm {Riesz}}(x/n^{2})=x\exp(-x)}.}$

Usando el método de Kummer para acelerar la convergencia se obtiene:

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\exp(-x)-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\zeta (2k)-1\right)\left({\frac {(-1)^{k+1}}{(k-1)!\zeta (2k)}}\right)x^{k}}$

con una tasa de convergencia mejorada.

Continuando este proceso se obtiene una nueva serie para la función de Riesz con propiedades de convergencia mucho mejores:

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k -1)!\zeta (2k)}}=\sum _ {k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{(k-1) )!}}\left(\suma _{n=1}^{\infty }\mu (n)n^{-2k}\right)}$

${\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}\left(x/n^{2}\right)^{k}}{(k-1)!}}=x\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n^{2}}}\exp\left(-{\frac{x}{n^{2}}}\right).}$

Aquí está la función mu de Möbius y la reorganización de términos se justifica por la convergencia absoluta. Ahora podemos aplicar nuevamente el método de Kummer y escribir ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)=x\left({\frac {6}{\pi ^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{2}}}\left(\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)-1\right)\right)}$

cuyos términos eventualmente decrecen como la cuarta potencia inversa de . ${\displaystyle n}$

Las series anteriores son absolutamente convergentes en todas partes y, por lo tanto, pueden diferenciarse término por término, lo que conduce a la siguiente expresión para la derivada de la función de Riesz:

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}-x\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)}$

que puede reorganizarse como

${\displaystyle {\rm {Riesz}}'(x)={\frac {{\text{Riesz}}(x)}{x}}+x\left(-{\frac {90}{\pi ^{4}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{4}}}\left(1-\exp \left(-{\frac {x}{n^{2}}}\right)\right)\right).}$

Marek Wolf en ^[2] asumiendo la hipótesis de Riemann ha demostrado que para grandes : ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\rm {Riesz}}(x)\sim Kx^{1/4}\sin \left(\phi -{\frac {1}{2}}\gamma _{1}\log(x)\right)}$

donde es la parte imaginaria del primer cero no trivial de la función zeta, y . Concuerda con los teoremas generales sobre los ceros de la función de Riesz demostrados en 1964 por Herbert Wilf. ^[3]${\displaystyle \gamma _{1}=14.13472514...}$${\displaystyle K=7.7750627...\times 10^{-5}}$${\displaystyle \phi =-0.54916...=-31,46447^{\circ }}$

Más arriba se muestra un gráfico para el rango de 0 a 50. Hasta donde alcanza, no indica un crecimiento muy rápido y tal vez sea un buen augurio para la veracidad de la hipótesis de Riemann.

GH Hardy y JE Littlewood ^{[4] [5]} demostraron, mediante métodos similares, que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que lo siguiente será verdadero para cualquier exponente mayor que : ${\displaystyle e}$${\displaystyle -1/4}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{k!\zeta (2k+1)}}=O(x^{e})\qquad ({\text{as }}x\to \infty ).}$

• Titchmarsh, EC , The Theory of the Riemann Zeta Function , segunda edición revisada (Heath-Brown), Oxford University Press, 1986, [ Sección 14.32 ]