Riesz quiere decir

En matemáticas , la media de Riesz es una media determinada de los términos de una serie . Fue introducida por Marcel Riesz en 1911 como una mejora de la media de Cesàro.La media de Riesz no debe confundirse con la media de Bochner-Riesz ni con la media de Strong-Riesz .

Dada una serie${\displaystyle \{s_{n}\}}$, la media de Riesz de la serie se define por

${\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}}$

A veces, una media de Riesz generalizada se define como

${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}}$

Aquí, el${\displaystyle \lambda _{n}}$son una secuencia con${\displaystyle \lambda _{n}\to \infty }$y con${\displaystyle \lambda _{n+1}/\lambda _{n}\to 1}$como${\displaystyle n\to \infty }$. Aparte de esto, el${\displaystyle \lambda _{n}}$se consideran arbitrarios.

Las medias de Riesz se utilizan a menudo para explorar la sumabilidad de secuencias; los teoremas de sumabilidad típicos analizan el caso de${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$para alguna secuencia${\displaystyle \{a_{k}\}}$. Normalmente, una secuencia es sumable cuando el límite${\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}}$existe, o el límite${\displaystyle \lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )}$Existe, aunque los teoremas de sumabilidad precisos en cuestión a menudo imponen condiciones adicionales.

Dejar${\displaystyle a_{n}=1}$a pesar de${\displaystyle n}$. Entonces

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.}$

Aquí, uno debe tomar${\displaystyle c>1}$;${\displaystyle \Gamma (s)}$es la función Gamma y${\displaystyle \zeta (s)}$es la función zeta de Riemann . La serie de potencias

${\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}$

se puede demostrar que es convergente para${\displaystyle \lambda >1}$. Nótese que la integral tiene la forma de una transformada inversa de Mellin .

Otro caso interesante relacionado con la teoría de números surge al tomar${\displaystyle a_{n}=\Lambda (n)}$dónde${\displaystyle \Lambda (n)}$es la función de Von Mangoldt . Entonces

${\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.}$

Nuevamente, se debe tomar c  >  1. La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y

${\displaystyle \sum _ {n}c_ {n}\lambda ^{-n}\,}$

es convergente para λ  >  1.

Las integrales que aparecen aquí son similares a la integral de Nörlund-Rice ; de ​​forma muy general, se pueden relacionar con esa integral mediante la fórmula de Perron .

• ^ M. Riesz,Comptes Rendus, 12 de junio de 1911
• ^ Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función zeta de Riemann y la teoría de la distribución de los números primos" . Acta Mathematica . 41 : 119–196 . doi : 10.1007/BF02422942 .
• Volkov, II (2001) [1994], "Método de suma de Riesz" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press