Categoría de plataforma

En la teoría de categorías , una categoría rig (también conocida como categoría bimonoide o 2-rig ) es una categoría equipada con dos estructuras monoidales , una distribuida sobre la otra.

Una categoría de plataforma viene dada por una categoría${\displaystyle \mathbf {C} }$equipado con:

• una estructura monoide simétrica${\displaystyle (\mathbf {C} ,\oplus ,O)}$
• una estructura monoide${\displaystyle (\mathbf {C},\otimes,I)}$
• distribución de isomorfismos naturales:${\displaystyle \delta _{A,B,C}:A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)}$y${\displaystyle \delta '_{A,B,C}:(A\oplus B)\otimes C\simeq (A\otimes C)\oplus (B\otimes C)}$
• aniquilando (o absorbiendo ) isomorfismos naturales:${\displaystyle a_{A}:O\otimes A\simeq O}$y${\displaystyle a'_{A}:A\otimes O\simeq O}$

Se requiere que dichas estructuras satisfagan una serie de condiciones de coherencia. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• Conjunto , la categoría de conjuntos con la unión disjunta como${\displaystyle \oplus }$y el producto cartesiano como${\displaystyle \otimes }$. Dichas categorías en las que la estructura monoidal multiplicativa es el producto categórico y la estructura monoidal aditiva es el coproducto se denominan categorías distributivas .
• Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo, con la suma directa como${\displaystyle \oplus }$y el producto tensorial como${\displaystyle \otimes }$.

Exigir que todos los isomorfismos involucrados en la definición de una categoría de rig sean estrictos no proporciona una definición útil, ya que implica una igualdad.${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$lo que indica una estructura degenerada. Sin embargo, es posible convertir la mayoría de los isomorfismos involucrados en igualdades. ^{[ 1 ]}

Una categoría de rig es semiestricta si las dos estructuras monoidales involucradas son estrictas, ambos aniquiladores son igualdades y uno de sus distribuidores es una igualdad. Cualquier categoría de rig es equivalente a una semiestricta. ^{[ 3 ]}

• Categoría Rig en el laboratorio n