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Articulo de referencia

Límite unilateral

En incógnita = 0 , {\displaystyle x=0,} la función F ( incógnita ) = incógnita 2 + firmar ⁡ ( incógnita ) , {\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),} dónde firmar ⁡ (...

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Enincógnita=0,{\displaystyle x=0,}la funciónF(incógnita)=incógnita2+firmar⁡(incógnita),{\displaystyle f(x)=x^{2}+\operatorname {sign} (x),}dóndefirmar⁡(incógnita){\displaystyle \operatorname {sign} (x)}denota la función signo , tiene un límite izquierdo de−1,{\displaystyle -1,}un límite derecho de+1,{\displaystyle +1,}y un valor de función de0.{\displaystyle 0.}

En cálculo , un límite lateral se refiere a cualquiera de los dos límites de una función.F(incógnita){\displaystyle f(x)}de una variable realincógnita{\displaystyle x}comoincógnita{\displaystyle x}se aproxima a un punto específico ya sea desde la izquierda o desde la derecha. [ 1 ] [ 2 ]

El límite, comoincógnita{\displaystyle x}disminuciones en el valor acercándosea{\displaystyle a}(incógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}"desde la derecha" [ 3 ] o "desde arriba"), se denota: [ 1 ] [ 2 ]

límiteincógnita→a+F(incógnita) o límiteincógnita↓aF(incógnita) o límiteincógnita↘aF(incógnita) o F(a+).{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)\quad {\text{ o }}\quad \lim _{x\,\downarrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ o }}\quad \lim _{x\searrow a}\,f(x)\quad {\text{ o }}\quad f(a+).}

El límite, comoincógnita{\displaystyle x}aumentos de valor que se aproximana{\displaystyle a}(incógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}"desde la izquierda" [ 4 ] [ 5 ] o "desde abajo"), se denota: [ 1 ] [ 2 ]

límiteincógnita→a−F(incógnita) o límiteincógnita↑aF(incógnita) o límiteincógnita↗aF(incógnita) o F(a−).{\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)\quad {\text{ o }}\quad \lim _{x\,\uparrow \,a}\,f(x)\quad {\text{ o }}\quad \lim _{x\nearrow a}\,f(x)\quad {\text{ o }}\quad f(a-).}

Si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales, entonces el límite deF(incógnita){\displaystyle f(x)}comoincógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}existe. Por el contrario, si el límite deF(incógnita){\displaystyle f(x)}comoincógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}Si existe, entonces los límites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales. En consecuencia, el límite comoincógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}A veces se le llama "límite bilateral". Se denota de la siguiente manera: límiteincógnita→aF(incógnita).{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x).}

En algunos casos en los que no existe el límite bilateral, existen, no obstante, los dos límites unilaterales individuales, y estos son necesariamente desiguales.

Es posible que solo exista uno de los dos límites unilaterales. También es posible que no exista ninguno de los dos límites unilaterales.

Definición formal

Definición

SiI{\displaystyle I}representa algún intervalo que está contenido en el dominio de una funciónF{\displaystyle f}y sia{\displaystyle a}es un punto enI{\displaystyle I}, entonces el límite del lado derecho comoincógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}puede definirse rigurosamente como el valorR{\displaystyle R}que satisface: [ 6 ]

a pesar deε>0{\displaystyle \varepsilon >0}existe algoδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para todosincógnita∈I{\displaystyle x\in I}, si0<incógnita−a<δ{\displaystyle 0<xa<\delta }entonces|F(incógnita)−R|<ε{\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon },

y el límite del lado izquierdo comoincógnita{\displaystyle x}aprochesa{\displaystyle a}puede definirse rigurosamente como el valorL{\displaystyle L}que satisface:

a pesar deε>0{\displaystyle \varepsilon >0}existe algoδ>0{\displaystyle \delta >0}de tal manera que para todosincógnita∈I{\displaystyle x\in I}, si0<a−incógnita<δ{\displaystyle 0<ax<\delta }entonces|F(incógnita)−L|<ε{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }.

Estas definiciones pueden representarse de forma más simbólica de la siguiente manera: SeaI{\displaystyle I}representan un intervalo, dondeI⊆dometroainorte(F){\displaystyle I\subseteq \mathrm {dominio} (f)}ya∈I{\displaystyle a\in I}, entonces límiteincógnita→a+F(incógnita)=R⟺∀ε∈R+,∃δ∈R+,∀incógnita∈I,0<incógnita−a<δ⟶|F(incógnita)−R|<ε,límiteincógnita→a−F(incógnita)=L⟺∀ε∈R+,∃δ∈R+,∀incógnita∈I,0<a−incógnita<δ⟶|F(incógnita)−L|<ε.{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to a^{+}}f(x)=R&\iff \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<xa<\delta \longrightarrow |f(x)-R|<\varepsilon ,\\\lim _{x\to a^{-}}f(x)=L&\iff \forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<ax<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon .\end{aligned}}}

Intuición

En comparación con la definición formal del límite de una función en un punto, el límite unilateral (como su nombre indica) solo considera los valores de entrada situados a un lado del valor de entrada al que se aproxima.

A modo de referencia, la definición formal del límite de una función en un punto es la siguiente:

límiteincógnita→aF(incógnita)=L   ⟺   ∀ε∈R+,∃δ∈R+,∀incógnita∈I,0<|incógnita−a|<δ⟹|F(incógnita)−L|<ε.{\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L~~~\iff ~~~\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+},\exists \delta \in \mathbb {R} _{+},\forall x\in I,0<|xa|<\delta \implies |f(x)-L|<\varepsilon .}

Para definir un límite unilateral, debemos modificar esta desigualdad. Nótese que la distancia absoluta entreincógnita{\displaystyle x}ya{\displaystyle a}es

|incógnita−a|=|(−1)(−incógnita+a)|=|(−1)(a−incógnita)|=|(−1)||a−incógnita|=|a−incógnita|.{\displaystyle |xa|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(ax)|=|(-1)||ax|=|ax|.}

Para el límite desde la derecha, queremosincógnita{\displaystyle x}estar a la derecha dea{\displaystyle a}, lo que significa quea<incógnita{\displaystyle a<x}, entonces incógnita−a{\displaystyle xa}es positivo. Desde arriba,incógnita−a{\displaystyle xa}es la distancia entreincógnita{\displaystyle x}ya{\displaystyle a}Queremos limitar esta distancia mediante nuestro valor deδ{\displaystyle \delta }, dando la desigualdadincógnita−a<δ{\displaystyle xa<\delta }. Reuniendo las desigualdades0<incógnita−a{\displaystyle 0<xa}yincógnita−a<δ{\displaystyle xa<\delta }y utilizando la propiedad de transitividad de las desigualdades, tenemos la desigualdad compuesta.0<incógnita−a<δ{\displaystyle 0<xa<\delta }.

De manera similar, para el límite por la izquierda, queremosincógnita{\displaystyle x}estar a la izquierda dea{\displaystyle a}, lo que significa queincógnita<a{\displaystyle x<a}En este caso, esa−incógnita{\displaystyle ax}que es positivo y representa la distancia entre incógnita{\displaystyle x}ya{\displaystyle a}. Nuevamente, queremos acotar esta distancia mediante nuestro valor deδ{\displaystyle \delta }, lo que lleva a la desigualdad compuesta0<a−incógnita<δ{\displaystyle 0<ax<\delta }.

Ahora, cuando nuestro valor deincógnita{\displaystyle x}está en su intervalo deseado, esperamos que el valor deF(incógnita){\displaystyle f(x)}También está dentro de su intervalo deseado. La distancia entreF(incógnita){\displaystyle f(x)}yL{\displaystyle L}, el valor límite del límite del lado izquierdo, es|F(incógnita)−L|{\displaystyle |f(x)-L|}. De manera similar, la distancia entreF(incógnita){\displaystyle f(x)}yR{\displaystyle R}, el valor límite del límite del lado derecho, es|F(incógnita)−R|{\displaystyle |f(x)-R|}En ambos casos, queremos limitar esta distancia medianteε{\displaystyle \varepsilon }, por lo que obtenemos lo siguiente:|F(incógnita)−L|<ε{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }para el límite del lado izquierdo, y|F(incógnita)−R|<ε{\displaystyle |f(x)-R|<\varepsilon }para el límite del lado derecho.

Ejemplos

Ejemplo 1. Los límites por la izquierda y por la derecha degramo(incógnita):=−1incógnita{\textstyle g(x):=-{\frac {1}{x}}}comoincógnita{\displaystyle x}aprochesa:=0{\displaystyle a:=0}son, respectivamente límiteincógnita→0−−1incógnita=+∞ y límiteincógnita→0+−1/incógnita=−∞.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}=+\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty .} La razón por la quelímiteincógnita→0−−1incógnita=+∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}=+\infty }es porqueincógnita{\displaystyle x}siempre es negativo (ya queincógnita→0−{\displaystyle x\to 0^{-}}significa queincógnita→0{\displaystyle x\to 0}con todos los valores deincógnita{\displaystyle x}satisfactorioincógnita<0{\displaystyle x<0}), lo que implica que−1/incógnita{\displaystyle -1/x}siempre es positivo para quelímiteincógnita→0−−1incógnita{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}-{\frac {1}{x}}}diverge [ nota 1 ] a+∞{\displaystyle +\infty }(y no a−∞{\displaystyle -\infty }) comoincógnita{\displaystyle x}aproches0{\displaystyle 0}desde la izquierda. De manera similar,límiteincógnita→0+−1incógnita=−∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}-{\frac {1}{x}}=-\infty }ya que todos los valores deincógnita{\displaystyle x}satisfacerincógnita>0{\displaystyle x>0}(dicho de otra manera,incógnita{\displaystyle x}siempre es positivo) comoincógnita{\displaystyle x}aproches0{\displaystyle 0}desde la derecha, lo que implica que−1/incógnita{\displaystyle -1/x}siempre es negativo para quelímiteincógnita→0+−1incógnita{\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}-{\frac {1}{x}}}diverge a−∞.{\displaystyle -\infty .}

Gráfico de la funciónF(incógnita)=11+2−1/incógnita{\textstyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}}}.

Ejemplo 2. Un ejemplo de una función con diferentes límites laterales esF(incógnita)=11+2−1/incógnita{\textstyle f(x)={\frac {1}{1+2^{-1/x}}}}donde el límite desde la izquierda eslímiteincógnita→0−F(incógnita)=0{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=0}y el límite desde la derecha eslímiteincógnita→0+F(incógnita)=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=1.}Para calcular estos límites, primero demuestre que límiteincógnita→0−2−1/incógnita=∞ y límiteincógnita→0+2−1/incógnita=0,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}2^{-1/x}=\infty \qquad {\text{ and }}\qquad \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}=0,} lo cual es cierto porquelímiteincógnita→0−−1/incógnita=+∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}{-1/x}=+\infty }ylímiteincógnita→0+−1/incógnita=−∞{\textstyle \lim _{x\to 0^{+}}{-1/x}=-\infty } de modo que, en consecuencia, límiteincógnita→0+11+2−1/incógnita=11+límiteincógnita→0+2−1/incógnita=11+0=1{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}2^{-1/x}}}={\frac {1}{1+0}}=1} mientraslímiteincógnita→0−11+2−1/incógnita=0{\textstyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}porque el denominador diverge al infinito; es decir, porquelímiteincógnita→0−1+2−1/incógnita=∞{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}1+2^{-1/x}=\infty }. Desdelímiteincógnita→0−F(incógnita)≠límiteincógnita→0+F(incógnita){\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)\neq \lim _{x\to 0^{+}}f(x)}, el límitelímiteincógnita→0F(incógnita){\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x)}No existe.

Relación con la definición topológica de límite

El límite unilateral a un puntopag{\displaystyle p}corresponde a la definición general de límite , con el dominio de la función restringido a un lado, ya sea permitiendo que el dominio de la función sea un subconjunto del espacio topológico, o considerando un subespacio unilateral, incluyendopag.{\displaystyle p.}[ 1 ] Alternativamente, se puede considerar el dominio con unatopología de intervalo semiabierto.

Teorema de Abel

Un teorema destacable que trata los límites laterales de ciertas series de potencias en los límites de sus intervalos de convergencia es el teorema de Abel .

Notas

  1. ↑ Un límite que es igual a∞{\displaystyle \infty }Se dice que diverge a∞{\displaystyle \infty }en lugar de converger a∞.{\displaystyle \infty .}Lo mismo ocurre cuando un límite es igual a−∞.{\displaystyle -\infty .}

Referencias

  1. 1 2 3 4 "Límite unilateral - Enciclopedia de Matemáticas" . encyclopediaofmath.org . Archivado del original el 18 de marzo de 2023. Consultado el 7 de agosto de 2021 .
  2. 1 2 3 Fridy, JA (24 de enero de 2020). Análisis introductorio: La teoría del cálculo . Gulf Professional Publishing. pág. 48. ISBN  978-0-12-267655-0Consultado el 7 de agosto de 2021 .
  3. ↑ Hasan, Osman; Khayam, Syed (2014-01-02). "Hacia el criptoanálisis lineal formal usando HOL4" (PDF) . Journal of Universal Computer Science . 20 (2): 209. doi : 10.3217/jucs-020-02-0193 . ISSN 0948-6968 . 
  4. ↑ Gasic, Andrei G. (12 de diciembre de 2020). Fenómenos de fase de las proteínas en la materia viva (Tesis).
  5. ↑ Brokate, Martin; Manchanda, Pammy; Siddiqi, Abul Hasan (2019), "Límite y continuidad" , Cálculo para científicos e ingenieros , Matemáticas industriales y aplicadas, Singapur: Springer Singapore, pp. 39–53 , doi : 10.1007/978-981-13-8464-6_2 , ISBN  978-981-13-8463-9, S2CID 201484118 , consultado el 11/01/2022 
  6. ↑ Swokowski, Earl W. ( 1979). Cálculo con geometría analítica (2.ª ed.). Taylor & Francis. págs. 72-73 . ISBN   978-0-87150-268-1.

Véase también

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