Estrofoide

Sea la curva C dada por${\displaystyle r=f(\theta ),}$donde el origen se toma como O. Sea A el punto ( a , b ) . Si${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$es un punto en la curva la distancia de K a A es

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}.}$

Los puntos en la línea OK tienen un ángulo polar θ , y los puntos a una distancia d de K en esta línea están a una distancia${\displaystyle f(\theta )\pm d}$desde el origen. Por lo tanto, la ecuación del estrofoide viene dada por

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$

Sea C dada paramétricamente por ( x ( t ), y ( t )) . Sea A el punto ( a , b ) y sea O el punto ( p , q ) . Entonces, mediante una aplicación directa de la fórmula polar, la estrofoide viene dada paramétricamente por:

${\displaystyle u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),}$

dónde

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.}$

La complejidad de las fórmulas anteriores limita su utilidad en casos específicos. Existe una forma alternativa que a veces resulta más sencilla de aplicar. Esto es particularmente útil cuando C es una sectorial de Maclaurin con polos O y A.

Sea O el origen y A el punto ( a , 0) . Sea K un punto en la curva, θ el ángulo entre OK y el eje x , y${\displaystyle \vartheta }$el ángulo entre AK y el eje x . Supongamos que${\displaystyle \vartheta }$Se puede expresar como una función θ , por ejemplo .${\displaystyle \vartheta =l(\theta ).}$Sea ψ el ángulo en K , entonces${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta .}$Podemos determinar r en términos de l usando la ley de los senos . Dado que

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}.}$

Sean P ₁ y P ₂ los puntos en OK que están a una distancia AK de K , numerados de manera que${\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA}$y${\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}.}$△ P ₁ KA es isósceles con ángulo de vértice ψ , por lo que los ángulos restantes, ⁠${\displaystyle \angle AP_{1}K}$y​​${\displaystyle \angle KAP_{1},}$son​${\displaystyle {\tfrac {\pi -\psi }{2}}.}$El ángulo entre AP ₁ y el eje x es entonces

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2.}$

Mediante un argumento similar, o simplemente utilizando el hecho de que AP ₁ y AP ₂ forman un ángulo recto, el ángulo entre AP ₂ y el eje x es entonces

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.}$

La ecuación polar para el estrofoide ahora se puede derivar de l ₁ y l ₂ de la fórmula anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}\\&r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}\end{aligned}}}$

C es una sectorial de Maclaurin con polos O y A cuando l tiene la forma${\displaystyle q\theta +\theta _{0},}$En ese caso, l ₁ y l ₂ tendrán la misma forma, por lo que la estrofoide es otra sectorial de Maclaurin o un par de dichas curvas. En este caso, también hay una ecuación polar simple para la ecuación polar si el origen se desplaza a la derecha por a .

Sea C una línea que pasa por A. Entonces, en la notación utilizada anteriormente,${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$donde α es una constante. Entonces${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$y${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2.}$Las ecuaciones polares de la estrofoide resultante, llamada estrofoide oblicua, con origen en O , son entonces

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

y

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}.}$

Es fácil comprobar que estas ecuaciones describen la misma curva.

Al trasladar el origen a A (véase de nuevo la sección de Maclaurin ) y sustituir −a por a se obtiene

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}},}$

y rotando por${\displaystyle \alpha }$a su vez produce

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}.}$

En coordenadas rectangulares, con un cambio de parámetros constantes, esto es

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy.}$

Esta es una curva cúbica y, según su expresión en coordenadas polares, es racional. Tiene un punto de inflexión en (0, 0) y la recta y = b es una asíntota.

Puesta${\displaystyle \alpha =\pi /2}$en

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$

da

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta ).}$

Esto se denomina estrofoide derecha y corresponde al caso en el que C es el eje y , A es el origen y O es el punto ( a , 0) .

La ecuación cartesiana es

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(ax)/(a+x).}$

La curva se asemeja al Folium de Descartes ^{[ 1 ]} y la línea x = – a es una asíntota de dos ramas. La curva tiene dos asíntotas más, en el plano con coordenadas complejas, dadas por

${\displaystyle x\pm iy=-a.}$

Esta curva pasa por los dos puntos circulares en el infinito y es un caso especial de una cúbica circular focal de Van Rees.

Sea C un círculo que pasa por O y A , donde O es el origen y A es el punto ( a , 0) . Entonces, en la notación utilizada anteriormente,${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$dónde${\displaystyle \alpha }$es una constante. Entonces${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$y${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2.}$Las ecuaciones polares de la estrofoide resultante, llamada estrofoide oblicua, con origen en O , son entonces

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

y

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}.}$

Estas son las ecuaciones de los dos círculos que también pasan por O y A y forman ángulos de${\displaystyle \pi /4}$con C en estos puntos.