Espacio analítico rígido

En matemáticas, un espacio analítico rígido es análogo a un espacio analítico complejo sobre un cuerpo no arquimediano . Estos espacios fueron introducidos por John Tate en 1962, como resultado de su trabajo sobre la uniformización de curvas elípticas p -ádicas con mala reducción utilizando el grupo multiplicativo . A diferencia de la teoría clásica de las variedades analíticas p -ádicas , los espacios analíticos rígidos admiten nociones significativas de continuación analítica y conexidad .

El objeto analítico rígido básico es el polidisco unitario n -dimensional , cuyo anillo de funciones es el álgebra de Tate.${\displaystyle T_{n}}$, formada por series de potencias en n variables cuyos coeficientes tienden a cero en algún cuerpo completo no arquimediano k . El álgebra de Tate es la completación del anillo de polinomios en n variables bajo la norma de Gauss (tomando el supremo de los coeficientes), y el polidisco desempeña un papel análogo al del espacio afín n- dimensional en geometría algebraica . Los puntos del polidisco se definen como ideales maximales en el álgebra de Tate, y si k es algebraicamente cerrado , estos corresponden a puntos en${\displaystyle k^{n}}$cuyas coordenadas tienen norma como máximo uno.

Un álgebra afinoide es un álgebra de Banach k que es isomorfa a un cociente del álgebra de Tate por un ideal . Un afinoide es entonces el subconjunto del polidisco unitario en el que se anulan los elementos de este ideal, es decir, es el conjunto de ideales maximales que contienen el ideal en cuestión. La topología en afinoides es sutil, utilizando nociones de subdominios afinoides (que satisfacen una propiedad de universalidad con respecto a las aplicaciones de álgebras afinoides) y conjuntos abiertos admisibles (que satisfacen una condición de finitud para recubrimientos por subdominios afinoides). De hecho, los conjuntos abiertos admisibles en un afinoide no le confieren en general la estructura de un espacio topológico , pero sí forman una topología de Grothendieck (llamada topología G ), lo que permite definir buenas nociones de haces y pegado de espacios.

Un espacio analítico rígido sobre k es un par${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$describe un espacio G -topologizado localmente anillado con un haz de k -álgebras, tal que hay un recubrimiento por subespacios abiertos isomorfos a afinoides. Esto es análogo a la noción de variedades que son recubribles por subconjuntos abiertos isomorfos al espacio euclidiano , o esquemas que son recubribles por afines . Los esquemas sobre k pueden ser analizatificados functorialmente , de manera similar a como las variedades sobre los números complejos pueden ser vistas como espacios analíticos complejos, y hay un teorema GAGA formal análogo . El functor de analitificación respeta límites finitos .

Hacia 1970, Michel Raynaud ofreció una interpretación de ciertos espacios analíticos rígidos como modelos formales, es decir, como fibras genéricas de esquemas formales sobre el anillo de valuación R de k . En particular, demostró que la categoría de espacios rígidos cuasicompactos cuasiseparados sobre k es equivalente a la localización de la categoría de esquemas formales admisibles cuasicompactos sobre R con respecto a explosiones formales admisibles. Aquí, un esquema formal es admisible si es recubrible por espectros formales de R -álgebras topológicamente finitamente presentadas cuyos anillos locales son R - planos .

Los modelos formales adolecen de un problema de unicidad, ya que las explosiones permiten que más de un esquema formal describa el mismo espacio rígido. Huber desarrolló una teoría de espacios ádicos para resolver este problema, tomando un límite sobre todas las explosiones. Estos espacios son cuasicompactos, cuasiseparados y funtoriales en el espacio rígido, pero carecen de muchas propiedades topológicas deseables.

Vladimir Berkovich reformuló gran parte de la teoría de espacios analíticos rígidos a finales de la década de 1980, utilizando una generalización de la noción de espectro de Gelfand para álgebras C* unitarias conmutativas . El espectro de Berkovich de un álgebra de Banach k A es el conjunto de seminormas multiplicativas en A que están acotadas con respecto a la norma dada en k , y tiene una topología inducida al evaluar estas seminormas en elementos de A. Dado que la topología se extrae de la recta real, los espectros de Berkovich tienen muchas propiedades interesantes, como compacidad, conectividad de caminos y metrizabilidad. Muchas propiedades de la teoría de anillos se reflejan en la topología de los espectros; por ejemplo, si A es Dedekind , entonces su espectro es contraíble. Sin embargo, incluso los espacios muy básicos tienden a ser difíciles de manejar : la línea proyectiva sobre C _p es una compactificación del límite inductivo de edificios afines de Bruhat-Tits para PGL ₂ ( F ) , a medida que F varía sobre extensiones finitas de Q _p , cuando a los edificios se les da una topología suficientemente gruesa .

• Cohomología rígida

• Análisis no arquimediano de S. Bosch , U. Güntzer, R. Remmert ISBN 3-540-12546-9
• Brian Conrad Varios enfoques de la geometría no arquimediana Apuntes de clase de la Escuela de Invierno de Arizona
• Geometría analítica rígida y sus aplicaciones (Progreso en matemáticas) por Jean Fresnel, Marius van der Put ISBN 0-8176-4206-4
• Houzel, Christian (1995) [1966], Espaces analytiques rigides (d'après R. Kiehl) , Séminaire Bourbaki, Exp. núm. 327, vol.  10, París: Société Mathématique de France , págs. 215–235 , MR 1610409  
• Tate, John (1971) [1962], "Espacios analíticos rígidos", Inventiones Mathematicae , 12 (4): 257–289 , Bibcode : 1971InMat..12..257T , doi : 10.1007/BF01403307 , ISSN 0020-9910 , MR 0306196 , S2CID 121364708   
• Elementos de geometría rígida. Volumen I. Construction et étude géométrique des espaces rigides (Progreso en Matemáticas 286) por Ahmed Abbes, ISBN 978-3-0348-0011-2
• Michel Raynaud , Geometría analítica rígida después de Tate, Kiehl. . . Tabla redonda de análisis no archimidienne, Bull. Soc. Matemáticas. P. Mém. 39/40 (1974), 319-327.

• "Espacio analítico rígido" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]