Rigidez (matemáticas)

En matemáticas , una colección rígida C de objetos matemáticos c (por ejemplo, conjuntos o funciones) es aquella en la que cada c ∈ C se determina de forma única con menos información sobre c de la que cabría esperar. La afirmación anterior no define una propiedad matemática ; más bien, describe el sentido en que los matemáticos suelen usar el adjetivo "rígido" en matemáticas.  

Algunos ejemplos incluyen:

1. Las funciones armónicas en el disco unitario son rígidas en el sentido de que están determinadas de forma única por sus valores límite.
2. Las funciones holomorfas están determinadas por el conjunto de todas sus derivadas en un punto. Una función suave que va de la recta real al plano complejo no está, en general, determinada por todas sus derivadas en un punto, pero sí lo está si exigimos además que sea posible extenderla a un entorno de la recta real en el plano complejo. El lema de Schwarz es un ejemplo de este teorema de rigidez.
3. Según el teorema fundamental del álgebra , los polinomios en C son rígidos en el sentido de que cualquier polinomio está completamente determinado por sus valores en cualquier conjunto infinito , por ejemplo N , o en el disco unitario . Siguiendo el ejemplo anterior, un polinomio también está determinado dentro del conjunto de funciones holomorfas por el conjunto finito de sus derivadas no nulas en cualquier punto.
4. Las aplicaciones lineales L ( X , Y ) entre espacios vectoriales X , Y son rígidas en el sentido de que cualquier L ∈ L ( X , Y ) está completamente determinado por sus valores en cualquier conjunto de vectores base de X .   
5. El teorema de rigidez de Mostow establece que la estructura geométrica de las variedades de curvatura negativa está determinada por su estructura topológica.
6. Un conjunto bien ordenado es rígido en el sentido de que el único automorfismo ( que preserva el orden ) sobre él es la función identidad. Por consiguiente, un isomorfismo entre dos conjuntos bien ordenados dados será único.
7. El teorema de Cauchy sobre la geometría de los politopos convexos establece que un politopo convexo está determinado de forma única por la geometría de sus caras y las reglas de adyacencia combinatorias.
8. El teorema de unicidad de Alexandrov establece que un poliedro convexo en tres dimensiones está determinado de forma única por el espacio métrico de geodésicas en su superficie.
9. Los resultados de rigidez en la teoría K muestran isomorfismos entre varios grupos algebraicos de la teoría K.
10. Grupos rígidos en el problema inverso de Galois .

En combinatoria , el término rígido también se utiliza para definir la noción de sobreyección rígida , que es una sobreyección.${\displaystyle f:n\to m}$para las cuales se cumplen las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 1 ]}

1. Por cada${\displaystyle i,j\in m}$,${\displaystyle i<j\implies \min f^{-1}(i)<\min f^{-1}(j)}$;
2. En vista de${\displaystyle f}$como un${\displaystyle n}$- tupla${\displaystyle {\big (}f(0),f(1),\ldots ,f(n-1){\big )}}$, las primeras apariciones de los elementos en${\displaystyle m}$están en orden ascendente;
3. ${\displaystyle f}$mapas segmentos iniciales de${\displaystyle n}$a los segmentos iniciales de${\displaystyle m}$.

Esto se relaciona con la definición anterior de rígido, en el sentido de que cada sobreyección rígida${\displaystyle f}$define de forma única, y es definida de forma única por, una partición de${\displaystyle n}$en${\displaystyle m}$piezas. Dada una sobreyección rígida${\displaystyle f}$, la partición se define por${\displaystyle n=f^{-1}(0)\sqcup \cdots \sqcup f^{-1}(m-1)}$. Por el contrario, dada una partición de${\displaystyle n=A_{0}\sqcup \cdots \sqcup A_{m-1}}$, ordene el${\displaystyle A_{i}}$al dejar${\displaystyle A_{i}\prec A_{j}\iff \min A_{i}<\min A_{j}}$. Si${\displaystyle n=B_{0}\sqcup \cdots \sqcup B_{m-1}}$ahora es el${\displaystyle \prec }$partición ordenada, la función${\displaystyle f:n\to m}$definido por${\displaystyle f(i)=j\iff i\in B_{j}}$es una sobreyección rígida.

• Teorema de unicidad
• Rigidez estructural , una teoría matemática que describe los grados de libertad de conjuntos de objetos físicos rígidos conectados entre sí por bisagras flexibles.
• Estructura de niveles (geometría algebraica)

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