homomorfismo de anillos

En matemáticas , un homomorfismo de anillos es una función que preserva la estructura entre dos anillos . Más explícitamente, si R y S son anillos, entonces un homomorfismo de anillos es una función f  : R → S que preserva la suma, la multiplicación y la identidad multiplicativa ; es decir, ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b),\\f(ab)&=f(a)f(b),\\f(1)&=1,\end{aligned}}}$

para ^todo a , b en R. ^{[ a} ]

Estas condiciones implican que los inversos aditivos y la identidad aditiva también se conservan (véase Homomorfismo de grupo ).

Si, además, f es una biyección , entonces su inversa f ⁻¹ también es un homomorfismo de anillos. En este caso, f se denomina isomorfismo de anillos , y los anillos R y S se consideran isomorfos . Desde el punto de vista de la teoría de anillos, los anillos isomorfos poseen exactamente las mismas propiedades.

Si R y S son rng s , entonces la noción correspondiente es la de un homomorfismo rng , ^{[ b ]} definido como arriba excepto sin la tercera condición f (1 _R ) = 1 _S . Un homomorfismo rng entre anillos (unitarios) no tiene por qué ser un homomorfismo de anillos.

La composición de dos homomorfismos de anillos es un homomorfismo de anillos. De ello se deduce que los anillos forman una categoría con homomorfismos de anillos como morfismos (véase Categoría de anillos ). En particular, se obtienen las nociones de endomorfismo de anillos, isomorfismo de anillos y automorfismo de anillos.

Sea f  : R → S un homomorfismo de anillos. Entonces, directamente a partir de estas definiciones, se puede deducir:

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (− a ) = − f ( a ) para todo a en R .
• Para cualquier unidad a en R , f ( a ) es un elemento unitario tal que f ( a ) ^⁻¹ = f ( a⁻¹ ) . En particular, f induce un homomorfismo de grupos del grupo (multiplicativo) de unidades de R al grupo (multiplicativo) de unidades de ^S ( o de im( f )).
• La imagen de f , denotada im( f ) , es un subanillo de S.
• El núcleo de f , definido como ker( f ) = { a en R | f ( a ) = 0 _S } , es un ideal bilátero en R. Todo ideal bilátero en un anillo R es el núcleo de algún homomorfismo de anillos.
• Un homomorfismo es inyectivo si y solo si su núcleo es el ideal cero .
• La característica de S divide la característica de R. Esto a veces se puede usar para demostrar que entre ciertos anillos R y S no existe ningún homomorfismo de anillos R → S.
• Si R _p es el subanillo más pequeño contenido en R y S _p es el subanillo más pequeño contenido en S , entonces todo homomorfismo de anillos f  : R → S induce un homomorfismo de anillos f _p  : R _p → S _p .
• Si R es un anillo de división y S no es el anillo cero , entonces f es inyectiva.
• Si tanto R como S son cuerpos , entonces im( f ) es un subcuerpo de S , por lo que S puede verse como una extensión de cuerpo de R.
• Si I es un ideal de S , entonces f ⁻¹ ( I ) es un ideal de R .
• Si R y S son conmutativos y P es un ideal primo de S , entonces f ⁻¹ ( P ) es un ideal primo de R.
• Si R y S son conmutativos, M es un ideal maximal de S y f es sobreyectivo, entonces f ⁻¹ ( M ) es un ideal maximal de R.
• Si R y S son conmutativos y S es un dominio de integridad , entonces ker( f ) es un ideal primo de R.
• Si R y S son conmutativos, S es un cuerpo y f es sobreyectiva, entonces ker( f ) es un ideal maximal de R .
• Si f es sobreyectiva, P es un ideal primo (máximo) en R y ker( f ) ⊆ P , entonces f ( P ) es un ideal primo (máximo) en S .

Además,

• La composición de homomorfismos de anillos S → T y R → S es un homomorfismo de anillos R → T.
• Para cada anillo R , la aplicación identidad R → R es un homomorfismo de anillos.
• Por lo tanto, la clase de todos los anillos junto con los homomorfismos de anillos forma una categoría, la categoría de anillos .
• La aplicación cero R → S que envía cada elemento de R a 0 es un homomorfismo de anillos solo si S es el anillo cero (el anillo cuyo único elemento es cero).
• Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillos único Z → R. Esto significa que el anillo de los números enteros es un objeto inicial en la categoría de anillos.
• Para cada anillo R , existe un homomorfismo de anillos único de R al anillo cero. Esto significa que el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos.
• Como el objeto inicial no es isomorfo al objeto terminal, no existe un objeto cero en la categoría de anillos; en particular, el anillo cero no es un objeto cero en la categoría de anillos.

• La función f  : Z → Z / n Z , definida por f ( a ) = [ a ] _​​n = a mod n es un homomorfismo de anillos sobreyectivo con núcleo n Z (véase Aritmética modular ).
• La conjugación compleja C → C es un homomorfismo de anillo (este es un ejemplo de automorfismo de anillo).
• Para un anillo R de característica prima p , R → R , x → x ^p es un endomorfismo de anillos llamado endomorfismo de Frobenius .
• Si R y S son anillos, la función cero de R a S es un homomorfismo de anillos si y solo si S es el anillo cero (de lo contrario, no mapea 1 _R a 1 _S ). Por otro lado, la función cero siempre es un homomorfismo rng .
• Si R [ X ] denota el anillo de todos los polinomios en la variable X con coeficientes en los números reales R , y C denota los números complejos , entonces la función f  : R [ X ] → C definida por f ( p ) = p ( i ) (sustituyendo la unidad imaginaria i por la variable X en el polinomio p ) es un homomorfismo de anillos sobreyectivo. El núcleo de f consiste en todos los polinomios en R [ X ] que son divisibles por X ² + 1 .
• Si f  : R → S es un homomorfismo de anillos entre los anillos R y S , entonces f induce un homomorfismo de anillos entre los anillos de matrices M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo k . Entonces, la aplicación ρ  : k → End( V ) dada por ρ ( a ) v = av es un homomorfismo de anillos. Más generalmente, dado un grupo abeliano M , una estructura de módulo en M sobre un anillo R es equivalente a dar un homomorfismo de anillos R → End( M ) .
• Un homomorfismo de álgebras unitarias entre álgebras asociativas unitarias sobre un anillo conmutativo R es un homomorfismo de anillos que también es R -lineal .

• La función f  : Z /6 Z → Z /6 Z definida por f ([ a ] _​​6 ) = [4 a ] ₆ no es un homomorfismo de anillos, sino un homomorfismo rng (y un endomorfismo rng ), con núcleo 3 Z /6 Z e imagen 2 Z /6 Z (que es isomorfo a Z /3 Z ).
• No existe ningún homomorfismo de anillos Z / n Z → Z para ningún n ≥ 1 .
• Si R y S son anillos, la inclusión R → R × S que envía cada r a ( r ,0) es un homomorfismo rng, pero no un homomorfismo de anillos (si S no es el anillo cero), ya que no mapea la identidad multiplicativa 1 de R a la identidad multiplicativa (1,1) de R × S .

• Cambio de anillos