espacio anillado

En matemáticas , un espacio anillado es una familia de anillos ( conmutativos ) parametrizados por subconjuntos abiertos de un espacio topológico, junto con homomorfismos de anillos que actúan como restricciones . Precisamente, es un espacio topológico dotado de un haz de anillos llamado haz estructural . Es una abstracción del concepto de anillos de funciones continuas (escalares) sobre subconjuntos abiertos.

Entre los espacios anillados, resulta especialmente importante y prominente un espacio anillado localmente : un espacio anillado en el que la analogía entre el tallo en un punto y el anillo de gérmenes de funciones en un punto es válida.

Los espacios anillados aparecen tanto en el análisis como en la geometría algebraica compleja y en la teoría de esquemas de la geometría algebraica .

Nota : En la definición de espacio anillado, la mayoría de las exposiciones tienden a restringir los anillos a anillos conmutativos , incluyendo Hartshorne y Wikipedia. Por otro lado, Éléments de géométrie algébrique no impone la condición de conmutatividad, aunque el libro considera principalmente el caso conmutativo. ^{[ 1 ]}

Un espacio anular${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$es un espacio topológico${\displaystyle X}$junto con un haz de anillos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$en${\displaystyle X}$. El haz${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$se llama haz de estructura de${\displaystyle X}$.

Un espacio rodeado localmente es un espacio rodeado${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$de tal manera que todos los tallos de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$son anillos locales (es decir, tienen ideales máximos únicos). Tenga en cuenta que no es necesario que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ser un anillo local para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$De hecho, esto casi nunca sucede.

Un espacio topológico arbitrario${\displaystyle X}$puede considerarse un espacio rodeado localmente tomando${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ser el haz de funciones continuas de valor real (o de valor complejo ) en subconjuntos abiertos de${\displaystyle X}$El tallo en un punto${\displaystyle x}$puede pensarse como el conjunto de todos los gérmenes de funciones continuas en${\displaystyle x}$; este es un anillo local con el único ideal máximo que consiste en aquellos gérmenes cuyo valor en${\displaystyle x}$es${\displaystyle 0}$.

Si${\displaystyle X}$Si se trata de una variedad con alguna estructura adicional, también podemos tomar el haz de funciones diferenciables u holomorfas . Ambas dan lugar a espacios localmente anillados.

Si${\displaystyle X}$es una variedad algebraica que lleva la topología de Zariski , podemos definir un espacio localmente anillado tomando${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ser el anillo de aplicaciones racionales definido en el conjunto abierto de Zariski${\displaystyle U}$que no explotan (se vuelven infinitos) dentro${\displaystyle U}$La generalización importante de este ejemplo es la del espectro de cualquier anillo conmutativo; estos espectros también son espacios localmente anillados. Los esquemas son espacios localmente anillados que se obtienen al "unir" espectros de anillos conmutativos.

Un morfismo de${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$a${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$es un par${\displaystyle (f,\varphi )}$, dónde${\displaystyle f:X\to Y}$es un mapa continuo entre los espacios topológicos subyacentes y${\displaystyle \varphi$ :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}} es un morfismo del haz de estructura de${\displaystyle Y}$a la imagen directa del haz de estructura de X. En otras palabras, un morfismo de${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$a${\displaystyle (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}$Se proporciona mediante los siguientes datos:

• un mapa continuo${\displaystyle f:X\to Y}$
• una familia de homomorfismos de anillos${\displaystyle \varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))}$para cada conjunto abierto${\displaystyle V}$de${\displaystyle Y}$que se desplazan con los mapas de restricciones. Es decir, si${\displaystyle V_{1}\subseteq V_{2}}$son dos subconjuntos abiertos de${\displaystyle Y}$, entonces el siguiente diagrama debe conmutar (los mapas verticales son los homomorfismos de restricción):

Existe un requisito adicional para los morfismos entre espacios localmente anillados:

• los homomorfismos de anillo inducidos por${\displaystyle \varphi }$entre los tallos de${\displaystyle Y}$y los tallos de${\displaystyle X}$deben ser homomorfismos locales , es decir, para cada${\displaystyle x\in X}$el ideal máximo del anillo local (tallo) en${\displaystyle f(x)\in Y}$se mapea en el ideal máximo del anillo local en${\displaystyle x\in X}$.

Dos morfismos pueden combinarse para formar un nuevo morfismo, obteniendo así la categoría de espacios anillados y la categoría de espacios localmente anillados. Los isomorfismos en estas categorías se definen como de costumbre.

Los espacios anillados localmente tienen la estructura suficiente para permitir la definición significativa de espacios tangentes .${\displaystyle X}$ser un espacio localmente anular con estructura de haz${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$; queremos definir el espacio tangente${\displaystyle T_{x}(X)}$en ese punto${\displaystyle x\in X}$. Toma el anillo local (tallo)${\displaystyle R_{x}}$en ese punto${\displaystyle x}$, con el máximo ideal${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$. Entonces${\displaystyle k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$es un campo y${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$es un espacio vectorial sobre ese campo (el espacio cotangente ). El espacio tangente${\displaystyle T_{x}(X)}$se define como el dual de este espacio vectorial.

La idea es la siguiente: un vector tangente en${\displaystyle x}$debería decirte cómo "diferenciar" "funciones" en${\displaystyle x}$, es decir, los elementos de${\displaystyle R_{x}}$. Ahora basta con saber cómo diferenciar funciones cuyo valor en${\displaystyle x}$es cero, ya que todas las demás funciones difieren de estas solo por una constante, y sabemos cómo derivar constantes. Por lo tanto, solo necesitamos considerar${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$Además, si se dan dos funciones con valor cero en${\displaystyle x}$, entonces su producto tiene derivada 0 en${\displaystyle x}$, por la regla del producto . Así que solo necesitamos saber cómo asignar "números" a los elementos de${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}}$y esto es lo que hace el espacio dual.

Dado un espacio localmente anillado${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, ciertos haces de módulos en${\displaystyle X}$ocurren en las aplicaciones, la${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. Para definirlos, consideremos un haz.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de grupos abelianos en${\displaystyle X}$. Si${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$es un módulo sobre el anillo${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$en${\displaystyle X}$y los mapas de restricción son compatibles con la estructura del módulo, entonces llamamos${\displaystyle {\mathcal {F}}}$un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulo. En este caso, el tallo de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$en${\displaystyle x}$será un módulo sobre el anillo local (tallo)${\displaystyle R_{x}}$, por cada${\displaystyle x\in X}$.

Un morfismo entre dos de tales${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos es un morfismo de haces que es compatible con las estructuras de módulos dadas. La categoría de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos sobre un espacio localmente anillado fijo${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$es una categoría abeliana .

Una subcategoría importante de la categoría de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos es la categoría de haces cuasi-coherentes en${\displaystyle X}$. Un manojo de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos se denomina cuasi-coherente si es, localmente, isomorfo al conúcleo de un mapa entre libres${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos. Un haz coherente${\displaystyle F}$es un haz cuasi-coherente que es, localmente, de tipo finito y para cada subconjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$el núcleo de cualquier morfismo de un libre${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$-módulo de rango finito a${\displaystyle {\mathcal {F}}_{U}}$También es de tipo finito.

• Sección 0.4 de Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas" . Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi : 10.1007/bf02684778 . SEÑOR 0217083 . 
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol.  52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 

• Onishchik, AL (2001) [1994], "Espacio anillado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press