Anillo de cierre

En matemáticas , un Ringschluss ( en alemán : Beweis durch Ringschluss , lit. ' Demostración por inferencia de anillo ' ) es una técnica de demostración matemática en la que se puede probar la equivalencia de varias proposiciones sin tener que probar directamente todas las equivalencias por pares. En inglés también se le llama a veces ciclo de implicaciones , ^{[ 1 ]} inferencia de cadena cerrada o implicación circular ; sin embargo, debe distinguirse del razonamiento circular , una falacia lógica.

Para probar que las afirmaciones${\displaystyle \varphi _ {1}, \ldots, \varphi _ {n}}$cada uno es equivalente por pares, se dan pruebas de las implicaciones${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$,${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$,${\displaystyle \dots }$,${\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}}$y${\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}$. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La equivalencia por pares de las afirmaciones resulta entonces de la transitividad del condicional material .

Para${\displaystyle n=4}$Las pruebas se dan para${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$,${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$,${\displaystyle \varphi _{3}\Rightarrow \varphi _{4}}$y${\displaystyle \varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{1}}$. La equivalencia de${\displaystyle \varphi _{2}}$y${\displaystyle \varphi _{4}}$resultados derivados de la cadena de conclusiones que ya no se dan explícitamente:

${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$. ${\displaystyle \varphi _{3}\Rightarrow \varphi _{4}}$Esto conduce a:${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{4}}$

${\displaystyle \varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{1}}$. ${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$Esto conduce a:${\displaystyle \varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{2}}$

Eso es${\displaystyle \varphi _{2}\Leftrightarrow \varphi _{4}}$.

La técnica ahorra esfuerzo de escritura sobre todo. Al demostrar la equivalencia de${\displaystyle n}$afirmaciones, requiere la prueba directa de solo${\displaystyle n}$fuera de la${\displaystyle n(n-1)/2}$implicaciones entre estas afirmaciones. En contraste, por ejemplo, elegir una de las afirmaciones como central y demostrar que las restantes${\displaystyle n-1}$Las declaraciones son cada una equivalente a la central que requeriría${\displaystyle 2(n-1)}$implicaciones, un número mayor. ^{[ 1 ]} La dificultad para el matemático radica en encontrar una secuencia de enunciados que permita las demostraciones directas más elegantes posibles.