Lema del sol naciente

En análisis matemático , el lema del sol naciente es un lema debido a Frigyes Riesz , utilizado en la demostración del teorema maximal de Hardy-Littlewood . El lema fue un precursor en una dimensión del lema de Calderón-Zygmund . ^{[ 1 ]}

El lema se enuncia de la siguiente manera: ^{[ 2 ]}

Supongamos que g es una función continua de valores reales en el intervalo [ a , b ] y S es el conjunto de x en [ a , b ] tal que existe un y ∈( x , b ] con g ( y ) > g ( x ). (Nótese que b no puede estar en S , aunque a sí puede estarlo). Definimos E = S ∩ ( a , b ).

Entonces E es un conjunto abierto , y puede escribirse como una unión numerable de intervalos disjuntos.

${\displaystyle E=\bigcup _ {k} (a_ {k}, b_ {k})}$

de tal manera que g ( a _k ) = g ( b _k ), a menos que a _k = a ∈ S para algún k , en cuyo caso g ( a ) < g ( b _k ) para ese k . Además, si x ∈ ( a _k , b _k ), entonces g ( x ) < g ( b _k ).

El nombre pintoresco del lema proviene de imaginar la gráfica de la función g como un paisaje montañoso, con el sol brillando horizontalmente desde la derecha. El conjunto E está formado por los puntos que se encuentran en la sombra.

Necesitamos un lema: Supongamos que [ c , d ) ⊂ S , pero d ∉ S . Entonces g ( c ) < g ( d ). Para probar esto, supongamos que g ( c ) ≥ g ( d ). Entonces g alcanza su máximo en [ c , d ] en algún punto z < d . Como z ∈ S , hay un y en ( z , b ] con g ( z ) < g ( y ). Si y ≤ d , entonces g no alcanzaría su máximo en [ c , d ] en z . Por lo tanto, y ∈ ( d , b ], y g ( d ) ≤ g ( z ) < g ( y ). Esto significa que d ∈ S , lo cual es una contradicción, estableciendo así el lema.

El conjunto E es abierto, por lo que está compuesto por una unión numerable de intervalos disjuntos ( a _k , b _k ).

Se deduce inmediatamente del lema que g ( x ) < g ( b _k ) para x en ( a _k , b _k ). Dado que g es continua, también debemos tener g ( a _k ) ≤ g ( b _k ).

Si a _k ​​≠ a o a ∉ S , entonces a _k ∉ S , por lo que g ( a _k ) ≥ g ( b _k ), porque de lo contrario a _k ∈ S . Por lo tanto, g ( a _k ) = g ( b _k ) en estos casos.

Finalmente, si a _k ​​= a ∈ S , el lema nos dice que g ( a ) < g ( b _k ).

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