Teoría de la ruina

En ciencias actuariales y probabilidad aplicada , la teoría de la ruina (a veces denominada teoría del riesgo ^{[ 1 ]} o teoría del riesgo colectivo ) utiliza modelos matemáticos para describir la vulnerabilidad de una aseguradora a la insolvencia o la ruina. En estos modelos, las cantidades clave de interés son la probabilidad de ruina, la distribución del superávit inmediatamente antes de la ruina y el déficit en el momento de la ruina.

El fundamento teórico de la teoría de la ruina, conocido como el modelo de Cramér-Lundberg (o modelo clásico de riesgo compuesto de Poisson, proceso de riesgo clásico ^{[ 2 ]} o proceso de riesgo de Poisson), fue introducido en 1903 por el actuario sueco Filip Lundberg . ^{[ 3 ]} El trabajo de Lundberg fue republicado en la década de 1930 por Harald Cramér . ^{[ 4 ]}

El modelo describe una compañía de seguros que experimenta dos flujos de efectivo opuestos: primas en efectivo entrantes y reclamaciones salientes. Las primas llegan a una tasa constante.${\textstyle c>0}$de los clientes y las reclamaciones llegan según un proceso de Poisson${\displaystyle N_{t}}$con intensidad${\textstyle \lambda }$y son variables aleatorias no negativas, independientes e idénticamente distribuidas${\displaystyle \xi _{i}}$con distribución${\textstyle F}$y significa${\textstyle \mu }$(forman un proceso de Poisson compuesto ). Por lo tanto, para una aseguradora que comienza con un excedente inicial${\textstyle x}$los activos agregados${\displaystyle X_{t}}$están dados por: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ para t}}\geq 0.}$

El objetivo central del modelo es investigar la probabilidad de que el nivel de superávit de la aseguradora finalmente caiga por debajo de cero (lo que provocaría la quiebra de la empresa). Esta cantidad, denominada probabilidad de ruina final, se define como

${\displaystyle \psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}}$,

donde el tiempo de ruina es${\displaystyle \tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}}$con la convención de que${\displaystyle \inf \varnothing =\infty }$Esto se puede calcular exactamente utilizando la fórmula de Pollaczek-Khinchine como ^{[ 6 ]} (la función de ruina aquí es equivalente a la función de cola de la distribución estacionaria del tiempo de espera en una cola M/G/1 ^{[ 7 ]} )

${\displaystyle \psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))}$

dónde${\displaystyle F_{l}}$es la transformación de la distribución de cola de${\displaystyle F}$,

${\displaystyle F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u}$

y${\displaystyle \cdot ^{\ast n}}$denota el${\displaystyle n}$convolución de pliegues . En el caso en que los tamaños de las reclamaciones se distribuyen exponencialmente, esto se simplifica a ^{[ 7 ].}

${\displaystyle \psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.}$

Suponiendo que la prima es igual a la pérdida esperada,${\displaystyle c=\lambda \mu }$, vemos que la empresa finalmente caerá en insolvencia con una probabilidad de 1.

E. Sparre Andersen extendió el modelo clásico en 1957 ^{[ 8 ]} al permitir que los tiempos entre llegadas de reclamaciones tuvieran funciones de distribución arbitrarias. ^{[ 9 ]}

${\displaystyle X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ para }}t\geq 0,}$

donde el proceso del número de reclamación${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$es un proceso de renovación y${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. El modelo asume además que${\displaystyle \xi _{i}>0}$casi con seguridad y eso${\displaystyle (N_{t})_{t\geq 0}}$y ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }}$son independientes. El modelo también se conoce como modelo de riesgo de renovación.

Michael R. Powers ^{[ 10 ]} y Gerber y Shiu ^{[ 11 ]} analizaron el comportamiento del superávit de la aseguradora mediante la función de penalización descontada esperada , comúnmente conocida como función de Gerber-Shiu en la literatura sobre ruina y nombrada en honor a los actuarios Elias SW Shiu y Hans-Ulrich Gerber . Es discutible si la función debería haberse llamado función de Powers-Gerber-Shiu debido a la contribución de Powers. ^{[ 10 ]}

En la notación de Powers , esto se define como

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]}$,

dónde${\displaystyle \delta }$es la fuerza de descuento del interés,${\displaystyle K_{\tau }}$es una función de penalización general que refleja los costos económicos para el asegurador en el momento de la ruina y la expectativa${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$corresponde a la medida de probabilidad${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$La función es denominada por Powers como costo esperado descontado de insolvencia. ^{[ 10 ]}

En la notación de Gerber y Shiu, se da como

${\displaystyle m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]}$,

dónde${\displaystyle \delta }$es la fuerza de descuento del interés y${\displaystyle w(X_{\tau -},X_{\tau })}$es una función de penalización que captura los costos económicos para la aseguradora en el momento de la ruina (se supone que dependen del superávit antes de la ruina).${\displaystyle X_{\tau -}}$y el déficit en ruinas${\displaystyle X_{\tau }}$), y la expectativa${\displaystyle \mathbb {E} ^{x}}$corresponde a la medida de probabilidad${\displaystyle \mathbb {P} ^{x}}$Aquí está la función indicadora${\displaystyle \mathbb {I} (\tau <\infty )}$Subraya que la sanción se aplica únicamente cuando se produce la ruina.

Es bastante intuitivo interpretar la función de penalización descontada esperada. Dado que la función mide el valor presente actuarial de la penalización que ocurre en${\displaystyle \tau }$La función de penalización se multiplica por el factor de descuento.${\displaystyle e^{-\delta \tau }}$y luego promediado sobre la distribución de probabilidad del tiempo de espera para${\displaystyle \tau }$. Mientras que Gerber y Shiu ^{[ 11 ]} aplicaron esta función al modelo clásico de Poisson compuesto, Powers ^{[ 10 ]} argumentó que el superávit de una aseguradora se modela mejor mediante una familia de procesos de difusión.

Existe una gran variedad de cantidades relacionadas con la ruina que entran en la categoría de la función de penalización descontada esperada.

Otras cantidades relacionadas con las finanzas que pertenecen a la clase de la función de penalización descontada esperada incluyen la opción de venta americana perpetua, ^{[ 12 ]} el derecho contingente en el momento óptimo de ejercicio y más.

• Modelo de riesgo de Poisson compuesto con interés constante
• Modelo de riesgo de Poisson compuesto con interés estocástico
• Modelo de riesgo de movimiento browniano
• Modelo general del proceso de difusión
• Modelo de riesgo modulado por Markov
• Calculadora del factor de probabilidad de accidente (APF) – modelo de análisis de riesgos (@SBH)

• Riesgo financiero
• Ecuación integral de Volterra §  Aplicación: Teoría de la ruina
• Selección de cartera con restricciones de azar

• Gerber, HU (1979). Una introducción a la teoría matemática del riesgo . Filadelfia: SS Heubner Foundation Monograph Series 8.
• Asmussen S., Albrecher H. (2010). Probabilidades de ruina, 2.ª edición . Singapur: World Scientific Publishing Co.