Longitud media del segmento de línea

Para un segmento de línea de longitud d , la distancia promedio entre dos puntos es ⁠ 1 / 3 ⁠ d . ^{[ 1 ]}

Para un triángulo con longitudes de lado a , b y c , la distancia promedio entre dos puntos en su interior viene dada por la fórmula ^{[ 2 ].}

${\displaystyle {\frac {4ss_{a}s_{b}s_{c}}{15}}\left[{\frac {1}{a^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{a}}}\right)+{\frac {1}{b^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{b}}}\right)+{\frac {1}{c^{3}}}\ln \left({\frac {s}{s_{c}}}\right)\right]+{\frac {a+b+c}{15}}+{\frac {(b+c)(bc)^{2}}{30a^{2}}}+{\frac {(a+c)(ac)^{2}}{30b^{2}}}+{\frac {(a+b)(ab)^{2}}{30c^{2}}},}$

dónde${\displaystyle s=(a+b+c)/2}$es el semiperímetro y${\displaystyle s_{i}}$denota${\displaystyle si}$.

Para un triángulo equilátero con lado de longitud a , esto es igual a

${\displaystyle \left({\frac {4+3\ln 3}{20}}\right)a\approx 0.364791843\ldots a.}$

La distancia promedio entre dos puntos dentro de un cuadrado con longitud de lado s es ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{15}}\right)s\approx 0.521405433\ldots s.}$

De manera más general, la longitud media del segmento de línea de un rectángulo con longitudes de lado l y w es ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\frac {1}{15}}\left[{\frac {l^{3}}{w^{2}}}+{\frac {w^{3}}{l^{2}}}+d\left(3-{\frac {l^{2}}{w^{2}}}-{\frac {w^{2}}{l^{2}}}\right)+{\frac {5}{2}}\left({\frac {w^{2}}{l}}\ln \left({\frac {l+d}{w}}\right)+{\frac {l^{2}}{w}}\ln \left({\frac {w+d}{l}}\right)\right)\right]}$

dónde${\displaystyle d={\sqrt {l^{2}+w^{2}}}}$es la longitud de la diagonal del rectángulo.

Si en cambio se eligen los dos puntos para que estén en lados diferentes del cuadrado, la distancia promedio viene dada por ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle \left({\frac {2+{\sqrt {2}}+5\ln(1+{\sqrt {2}})}{9}}\right)s\approx 0.869009\ldots s.}$

La distancia promedio entre puntos dentro de un hipercubo unitario n -dimensional se denota como Δ( n ) , y se da como ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \Delta (n)=\underbrace {\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}} _{2n}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\,dx_{1}\cdots \,dx_{n}\,dy_{1}\cdots \,dy_{n}}$

Los dos primeros valores, Δ(1) y Δ(2) , se refieren al segmento de línea unitario y al cuadrado unitario respectivamente.

Para el caso tridimensional , la longitud media del segmento de línea de un cubo unitario también se conoce como constante de Robbins , llamada así en honor a David P. Robbins . Esta constante tiene una forma cerrada, ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \Delta (3)={\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{105}}+{\frac {\ln(1+{\sqrt {2}})}{5}}+{\frac {2\ln(2+{\sqrt {3}})}{5}}.}$

Su valor numérico es aproximadamente 0,661707182... (secuencia A073012 en el OEIS )

Andersson et al. (1976) demostraron que Δ( n ) satisface los límites ^{[ 7 ].}

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}n^{1/2}\leq \Delta (n)\leq ({\tfrac {1}{6}}n)^{1/2}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left[1+2\left(1-{\frac {3}{5n}}\right)^{1/2}\right]}}.}$

Elegir puntos de dos caras diferentes del cubo unitario también da un resultado con una forma cerrada, dada por, ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {4+17{\sqrt {2}}-6{\sqrt {3}}-7\pi }{75}}+{\frac {7\ln {(1+{\sqrt {2}})}}{25}}+{\frac {14\ln {(2+{\sqrt {3}})}}{25}}.}$

La longitud media de la cuerda entre puntos de la circunferencia de un círculo de radio r es ^{[ 8 ].}

${\displaystyle {\frac {4}{\pi }}r\approx 1.273239544\ldots r}$

Y elegir puntos en la superficie de una esfera con radio r es ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\frac {4}{3}}r}$

La distancia promedio entre puntos dentro de un disco de radio r es ^{[ 10 ].}

${\displaystyle {\frac {128}{45\pi }}r\approx 0.905414787\ldots r.}$

También se conocen los valores para medio disco y cuarto de disco. ^{[ 11 ]}

Para un semidisco de radio 1:

${\displaystyle {\frac {64}{135}}{\frac {12\pi -23}{\pi ^{2}}}\approx 0.706053409\ldots }$

Para un cuarto de disco de radio 1:

${\displaystyle {\frac {32}{135\pi ^{2}}}(6\ln {(2{\sqrt {2}}-2)}-94{\sqrt {2}}+48\pi +3)\approx 0.473877262\ldots }$

Para una bola tridimensional , esto es

${\displaystyle {\frac {36}{35}}r\approx 1.028571428\ldots r.}$

De manera más general, la longitud media del segmento de línea de una n -bola es ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\frac {2n}{2n+1}}\beta _{n}r}$

donde β _n depende de la paridad de n ,

${\displaystyle \beta _{n}={\begin{cases}{\dfrac {2^{3n+1}\,(n/2)!^{2}\,n!}{(n+1)\,(2n)!\,\pi }}&({\text{for even }}n)\\{\dfrac {2^{n+1}\,n!^{3}}{(n+1)\,((n-1)/2)!^{2}\,(2n)!}}&({\text{for odd }}n)\end{cases}}}$

Beck (2023) descubrió que la distancia media entre dos puntos aleatorios dentro de cualquier poliedro dado puede expresarse en funciones elementales . Lo mismo ocurre con todos los momentos de la distancia. ^{[ 12 ]} También halló expresiones analíticas para las longitudes medias de los segmentos de línea de todos los poliedros regulares.

La distancia promedio entre dos puntos en un tetraedro regular con volumen unitario es ^{[ 13 ].}

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}\left({\frac {\sqrt {2}}{7}}-{\frac {37\pi }{315}}+{\frac {4}{15}}\arctan {\sqrt {2}}+{\frac {113\ln 3}{210{\sqrt {2}}}}\right)\approx 0.72946242\ldots }$

La distancia promedio entre dos puntos en un octaedro regular con volumen unitario es

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {3}{4}}}\left({\frac {4}{105}}+{\frac {13{\sqrt {2}}}{105}}-{\frac {4\pi }{45}}+{\frac {109\ln 3}{630{\sqrt {2}}}}+{\frac {16\operatorname {arccot} {\sqrt {2}}}{315}}+{\frac {158\operatorname {arccoth} {\sqrt {2}}}{315}}{\sqrt {2}}\right)\approx 0.65853073\ldots }$

La distancia promedio entre dos puntos en un icosaedro regular con volumen unitario es aproximadamente 0,64131248551.

La distancia promedio entre dos puntos en un dodecaedro regular con volumen unitario es aproximadamente 0,65853073.