Teorema del triángulo de Roberts

El teorema del triángulo de Roberts , un resultado en geometría discreta , establece que toda disposición de${\displaystyle n}$líneas, sin líneas paralelas y sin cruces de más de dos líneas, tiene al menos${\displaystyle n-2}$caras triangulares. Así, tres líneas forman un triángulo, cuatro líneas forman al menos dos triángulos, cinco líneas forman al menos tres triángulos, etc. Recibe su nombre de Samuel Roberts , un matemático británico que lo publicó en 1889. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El teorema establece que toda disposición simple de${\displaystyle n}$Las líneas en el plano euclidiano tienen al menos${\displaystyle n-2}$Caras triangulares. En este caso, una disposición es simple cuando ninguna de sus aristas es paralela a otra y ninguna de sus aristas pasa por el mismo punto. Una cara es uno de los polígonos formados por la disposición, que no es atravesado por ninguna de sus aristas. Las caras pueden ser acotadas o infinitas, pero solo las caras acotadas con exactamente tres lados se consideran triángulos a efectos del teorema. ^{[ 1 ]}

Una forma de formar un arreglo de${\displaystyle n}$líneas con exactamente${\displaystyle n-2}$Las caras triangulares consisten en elegir las líneas que sean tangentes a un semicírculo . Para las líneas dispuestas de esta manera, los únicos triángulos son los formados por tres líneas con puntos de tangencia consecutivos. Las otras caras de esta disposición son cuadriláteros acotados o no acotados. A medida que${\displaystyle n}$líneas tienen ${\displaystyle n-2}$triples consecutivos, también tienen${\displaystyle n-2}$triángulos. ^{[ 1 ]}

Branko Grünbaum consideró la demostración del artículo original de Roberts "poco convincente" ^{[ 3 ] [ 4 ]} y atribuye la primera demostración correcta del teorema de Roberts a Robert W. Shannon, en 1979. ^{[ 1 ] [ 5 ]} En su lugar, presenta el siguiente argumento más elemental, publicado por primera vez en ruso por Alexei Belov. ^{[ 1 ] [ 6 ]} Este depende implícitamente de una versión más débil del mismo teorema, según la cual toda disposición simple de tres o más líneas tiene al menos una cara triangular. Esto se deduce fácilmente por inducción del hecho de que añadir una línea a una disposición no puede disminuir el número de caras triangulares: si la línea corta un triángulo existente, una de las dos piezas resultantes es de nuevo un triángulo. Si fuera cierto, con mayor énfasis, que añadir una línea siempre aumenta el número de triángulos, entonces una inducción similar demostraría el teorema de Roberts, pero no es así. Existen disposiciones para las cuales, después de añadir una línea, el número de triángulos permanece inalterado. ^{[ 1 ]}

En cambio, Belov utiliza el siguiente argumento. Si el${\displaystyle n}$Si todas las líneas se mueven sin cambiar sus pendientes, sus nuevas posiciones se pueden describir mediante un sistema de${\displaystyle n}$números reales, los desplazamientos de cada línea desde su posición original. Para cada cara triangular, hay una ecuación lineal sobre los desplazamientos de sus tres líneas que, si se cumple, hace que la cara conserve su área original. Si pudiera haber menos de${\displaystyle n-2}$triángulos, entonces (porque habría más variables que ecuaciones que los restringen) sería posible fijar dos de las líneas en su lugar y encontrar un movimiento lineal simultáneo de todas las líneas restantes, manteniendo sus pendientes fijas, que preserve todas las áreas de los triángulos. Tal movimiento debe pasar por configuraciones que no son simples, por ejemplo, cuando una de las líneas móviles pasa por el punto de intersección de las dos líneas fijas. En el momento en que las líneas móviles forman por primera vez una configuración no simple, tres o más líneas se encuentran en un punto. Justo antes de que estas líneas se encuentren, según la versión más débil del teorema, el subconjunto de líneas que se encuentran tendría una cara triangular,${\displaystyle \Delta }$Dado que esta reunión es la primera vez que la disposición se vuelve no simple, no puede haber cambiado su estructura combinatoria con respecto a la disposición original, que por lo tanto también debe contener el mismo triángulo.${\displaystyle \Delta }$En el momento en que las líneas que definen el triángulo${\displaystyle \Delta }$Si se encuentran, su área se vuelve cero, pero esto contradice la invariancia de las áreas de los triángulos en la disposición inicial. La contradicción muestra la imposibilidad de la suposición de que hay menos de${\displaystyle n-2}$triángulos. ^{[ 1 ] [ 6 ]}

Felsner y Kriegel dieron una demostración para arreglos de pseudolíneas . Describen la especialización a arreglos simples de líneas. Consideremos solo las aristas acotadas y las caras acotadas. Sea${\displaystyle E}$Sea el número de aristas acotadas, sea${\displaystyle F}$sea ​​el número de caras acotadas, y sea${\displaystyle t_{3}}$Sea el número de caras triangulares. Una arista${\displaystyle e}$de una cara${\displaystyle f}$se llama un lado positivo de${\displaystyle f}$si la suma de los dos ángulos formados por${\displaystyle e}$con sus lados adyacentes en${\displaystyle f}$es menor que${\displaystyle 180^{\circ }}$Cada arista delimitada es un lado positivo de exactamente una de sus dos caras incidentes. Por otro lado, cada cara delimitada que no es un triángulo tiene como máximo dos lados positivos, y si hay dos, entonces son adyacentes. De hecho, dos lados positivos no adyacentes obligarían a que los ángulos exteriores correspondientes tengan una suma mayor que${\displaystyle 360^{\circ }}$. Por lo tanto, contar los lados positivos da${\displaystyle E\leq 2F+t_{3}}$. Desde${\displaystyle E=n(n-2)}$y${\displaystyle 2F=(n-1)(n-2)}$De ello se deduce que${\displaystyle t_{3}\geq n-2}$. ^{[ 7 ]}

Mientras que el teorema de Roberts se refiere al menor número posible de triángulos formados por un número dado de líneas, el problema relacionado del triángulo de Kobon se refiere al mayor número posible. ^{[ 3 ]} Los dos problemas difieren ya para${\displaystyle n=5}$, donde el teorema de Roberts garantiza que existirán tres triángulos, pero la solución al problema del triángulo de Kobon tiene cinco triángulos. ^{[ 1 ]}

A pesar de que parecen ser opuestos entre sí, el problema del triángulo de Kobon utiliza subconjuntos de líneas con triángulos mínimos. Bajo las condiciones adecuadas, para un conjunto simple con${\displaystyle n}$líneas y recuento máximo de triángulos, reemplazando una línea por una disposición de${\displaystyle n}$Las líneas con un número mínimo de triángulos crean un arreglo con${\displaystyle 2n-1}$líneas y recuento máximo de triángulos. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El teorema de Roberts puede generalizarse desde arreglos de líneas simples a algunos arreglos no simples, a arreglos en el plano proyectivo en lugar del plano euclidiano, y a arreglos de hiperplanos en espacios de dimensiones superiores. ^{[ 5 ]} Más allá de los arreglos de líneas, la misma cota que el teorema de Roberts se cumple para arreglos de pseudolíneas . ^{[ 7 ]}